Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Considere la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+1}{x^2+x}, & \text{si } x \leq 10 \\[1ex] \sqrt{x+1}, & \text{si } x > 10 \end{cases}$

a) Determine el dominio de definición de $f(x)$. [0,5 puntos]

b) Determine los intervalos, del dominio de definición, en que $f(x)$ es continua. [1 punto]

c) Determine si $f(x)$ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s). [1 punto]

$\textbf{a) Determine el dominio de definición de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Estudiamos por separado las dos ramas. La primera es una función racional, y solo hay que excluir los ceros de su denominador.

$x^2+x=x(x+1)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=-1\end{cases}$

Los dos valores cumplen $x\le10$, así que los dos quedan fuera. La segunda rama, $\sqrt{x+1}$, exige $x+1\ge0$, lo que se cumple en todo el tramo $x>10$.

$\text{Dom }f=\mathbb{R}\setminus\{-1,0\}$

$\textbf{b) Determine los intervalos, del dominio de definición, en que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ es continua. [1 punto]}$

En cada tramo abierto la función es continua por ser una racional y una raíz, así que los únicos puntos que hay que mirar son los excluidos del dominio y el de empalme $x=10$. Simplificamos antes la primera rama:

$\dfrac{x+1}{x^2+x}=\dfrac{x+1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}\qquad(x\neq-1)$

$\lim_{x\to10^{-}}f(x)=\dfrac{1}{10},\qquad \lim_{x\to10^{+}}f(x)=\sqrt{11}\approx3{,}3166$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, luego en $x=10$ hay una discontinuidad de salto finito y la función solo es continua por la izquierda.

$f\ \text{es continua en }(-\infty,-1)\cup(-1,0)\cup(0,10)\cup(10,+\infty)$

$\textbf{c) Determine si } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tiene asíntota(s). En caso afirmativo, calcúlela(s). [1 punto]}$

Asíntotas verticales. Las candidatas son los dos puntos excluidos del dominio.

$\lim_{x\to-1}\dfrac{x+1}{x(x+1)}=\lim_{x\to-1}\dfrac{1}{x}=-1$

El límite es finito, de modo que en $x=-1$ hay una discontinuidad evitable y no una asíntota.

$\lim_{x\to0^{-}}\dfrac{1}{x}=-\infty,\qquad \lim_{x\to0^{+}}\dfrac{1}{x}=+\infty\Rightarrow x=0\ \text{es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales. Se estudian con los límites en el infinito, y cada uno se calcula con la rama que corresponde.

$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\Rightarrow y=0\ \text{es asíntota horizontal por la izquierda}$

$\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x+1}=+\infty\Rightarrow\text{no hay asíntota horizontal por la derecha}$

Asíntota oblicua por la derecha:

$m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}}{x}=0\Rightarrow\text{tampoco hay asíntota oblicua}$

La función tiene la asíntota vertical $x=0$ y la asíntota horizontal $y=0$ por la izquierda.