Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Considere la recta $r : \begin{cases} x + y + z + 5 = 0 \\ x + 2y - z = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi : 2x + y - az = 3$ en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$. Razone si es posible asignar algún valor al parámetro $a$ para que:

a) la recta esté contenida en el plano. En caso afirmativo, dé un valor para $a$. [0,75 puntos]

b) la recta y el plano sean paralelos. En caso afirmativo, dé un valor para $a$. [0,75 puntos]

c) la recta y el plano se corten. En caso afirmativo, dé un valor para $a$ y dónde se cortan. [1 punto]

Las tres posiciones relativas se deciden con el mismo par de datos, así que los obtenemos una sola vez. Un vector director de $r$ es el producto vectorial de los vectores normales de los dos planos que la definen:

$\vec v_r=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\ 1&1&1\\ 1&2&-1\end{vmatrix}=(-3,2,1)$

Un punto de $r$ se obtiene dando un valor a una incógnita; con $z=0$ queda $x+y=-5$ y $x+2y=0$, de donde $y=5$ y $x=-10$:

$P(-10,5,0)\in r$

El vector normal del plano es $\vec n_\pi=(2,1,-a)$, y el producto escalar que decide todo es

$\vec v_r\cdot\vec n_\pi=-6+2-a=-4-a$

$\textbf{a) la recta esté contenida en el plano. En caso afirmativo, dé un valor para } \boldsymbol{a}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Para que $r\subset\pi$ hacen falta dos cosas: que $\vec v_r$ sea ortogonal a $\vec n_\pi$ y que además un punto de $r$ pertenezca a $\pi$.

$\vec v_r\cdot\vec n_\pi=0\Rightarrow -4-a=0\Rightarrow a=-4$

Comprobamos el punto $P$ en $\pi:2x+y+4z=3$:

$2(-10)+5+4\cdot0=-15\neq3\Rightarrow P\notin\pi$

El único valor que hace ortogonales los dos vectores deja el punto fuera del plano, de modo que no existe ningún valor de $a$ para el que la recta esté contenida en el plano.

$\textbf{b) la recta y el plano sean paralelos. En caso afirmativo, dé un valor para } \boldsymbol{a}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El paralelismo pide exactamente lo mismo que el apartado anterior salvo la segunda condición, que ahora se exige al revés: $\vec v_r\perp\vec n_\pi$ y $P\notin\pi$. Ambas se cumplen para

$a=-4$

Sí es posible: para $a=-4$ la recta es paralela al plano $\pi:2x+y+4z=3$ y no tiene ningún punto en común con él.



$\textbf{c) la recta y el plano se corten. En caso afirmativo, dé un valor para } \boldsymbol{a}\textbf{ y dónde se cortan. [1 punto]}$

La recta corta al plano cuando el director no es ortogonal a la normal, es decir, para cualquier $a\neq-4$. Tomamos por ejemplo $a=0$, con lo que $\pi:2x+y=3$.

Escribimos $r$ en paramétricas a partir de $P$ y $\vec v_r$ y sustituimos en la ecuación del plano.

$r:\begin{cases}x=-10-3\lambda\\ y=5+2\lambda\\ z=\lambda\end{cases},\ \lambda\in\mathbb{R}$

$2(-10-3\lambda)+(5+2\lambda)=3\Rightarrow-15-4\lambda=3\Rightarrow\lambda=-\dfrac92$

$x=-10+\dfrac{27}{2}=\dfrac72,\qquad y=5-9=-4,\qquad z=-\dfrac92$

Sí es posible: para $a=0$ la recta y el plano se cortan en el punto $\left(\dfrac72,-4,-\dfrac92\right)$.