Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Considere la función $f(x) = x\ln(x)$, con $x > 0$.

a) Calcule la derivada de $f(x)$. [0,75 puntos]

b) Calcule una primitiva de $f(x)$. [0,75 puntos]

c) Calcule el área del recinto limitado por $f(x)$, el eje OX de abscisas y las rectas $x = 1$ y $x = 2$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la derivada de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Derivamos el producto $x\cdot\ln x$ aplicando la regla del producto.

$f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1$

La derivada de $f$ es $f'(x)=\ln x+1$, definida para $x>0$.

$\textbf{b) Calcule una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Como el integrando es el producto de un logaritmo por un polinomio, integramos por partes tomando el logaritmo como factor a derivar.

$\begin{cases}u=\ln x & du=\dfrac{1}{x}\,dx\\[4pt] dv=x\,dx & v=\dfrac{x^2}{2}\end{cases}$

$\int x\ln x\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\int\dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\int\dfrac{x}{2}\,dx$

$=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}+C$

Una primitiva de $f$ es $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}$.

$\textbf{c) Calcule el área del recinto limitado por } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, el eje OX de abscisas y las rectas } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [1 punto]}$

Antes de integrar comprobamos el signo de $f$ en el intervalo: si $1\le x\le2$ entonces $\ln x\ge0$ y $x>0$, luego $f(x)\ge0$ en todo $[1,2]$ y el recinto queda por encima del eje.

$A=\int_{1}^{2}x\ln x\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x-\dfrac{x^2}{4}\right]_{1}^{2}$

Aplicando la regla de Barrow con la primitiva del apartado anterior:

$A=\left(2\ln2-1\right)-\left(0-\dfrac14\right)=2\ln2-\dfrac34$

$A=2\ln2-\dfrac34\approx0{,}6363\ \text{u}^2$

El área del recinto es $2\ln2-\dfrac34\approx0{,}6363$ unidades de área.