Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dentro de un grupo de estudiantes que realiza un examen hay tres a los que les sale mejor de lo que esperaban. Estos son Antonio, María y Paula. Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la nota de María. El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula y Paula saca dos puntos más que Antonio. Razone si el enunciado expuesto es posible. En caso afirmativo, calcule la nota de cada estudiante. [2,5 puntos]

$\textbf{Razone si el enunciado expuesto es posible. En caso afirmativo, calcule la nota de cada estudiante. [2,5 puntos]}$

Llamamos $x$ a la nota de Antonio, $y$ a la de María y $z$ a la de Paula, y traducimos a ecuaciones las tres afirmaciones del enunciado.

i) Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la de María:

$x=\dfrac{z}{2}+\dfrac{y}{3}$

ii) El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula:

$2y=x+z$

iii) Paula saca dos puntos más que Antonio:

$z=x+2$

Ordenando las incógnitas, el sistema es

$\begin{cases}x-\dfrac{y}{3}-\dfrac{z}{2}=0\\[2pt] x-2y+z=0\\[2pt] x\phantom{{}-2y}-z=-2\end{cases}$

Que el enunciado sea posible equivale a que este sistema tenga solución, así que lo discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$|A|=\begin{vmatrix}1&-\frac13&-\frac12\\ 1&-2&1\\ 1&0&-1\end{vmatrix}=2+0-\dfrac13-1-0-\dfrac13=\dfrac13\neq0$

$\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^*)=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución y, por tanto, el enunciado es posible. Lo resolvemos por sustitución, que aquí es más corto que Cramer.

$2y=x+z=x+(x+2)=2x+2\Rightarrow y=x+1$

Sustituimos $y=x+1$ y $z=x+2$ en la primera ecuación:

$x=\dfrac{x+2}{2}+\dfrac{x+1}{3}$

$6x=3(x+2)+2(x+1)=5x+8\Rightarrow x=8$

$y=8+1=9,\qquad z=8+2=10$

Las tres notas están entre $0$ y $10$, de modo que la solución es admisible.

El enunciado es posible: Antonio saca un $8$, María un $9$ y Paula un $10$.