Ejercicio resuelto de Energía libre de Gibbs · Química · 2024

En la fermentación anaerobia (en ausencia de oxígeno) de una cierta cantidad de glucosa sólida ($\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6$), a presión de una atmósfera y 298 K, se liberan 1692,5 kJ de calor. En dicha fermentación, la glucosa se convierte en etanol ($\text{C}_2\text{H}_5\text{OH}$) líquido, desprendiéndose además dióxido de carbono.

a) Escriba y ajuste la ecuación de fermentación de la glucosa y calcule la entalpía molar de la reacción. (0,8 puntos)

b) ¿Cuántos kilos de glucosa se han fermentado para liberar ese calor? Calcule también la masa de etanol que se ha obtenido en esa fermentación. (0,8 puntos)

c) Si la variación de entropía ($\Delta S^o_r$) de la fermentación de glucosa es 536,9 $\text{J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}$, calcule la variación de la energía libre de Gibbs ($\Delta G^o_r$) en las condiciones de fermentación, indicando si el proceso será espontáneo. (0,4 puntos)

Datos: $\Delta H^o\ (\text{kJ}\cdot\text{mol}^{-1})$: $\text{C}_6\text{H}_{12}\text{O}_6\,(s) = -1273{,}3$; $\text{C}_2\text{H}_5\text{OH}\,(l) = -277$; $\text{CO}_2\,(g) = -393{,}5$. Masas atómicas: $\text{H} = 1$; $\text{C} = 12$; $\text{O} = 16$.

$\textbf{a) Escriba y ajuste la ecuación de fermentación de la glucosa y calcule la entalpía molar de la reacción. (0,8 puntos)}$

La glucosa se desdobla en etanol y dióxido de carbono. Con seis carbonos de partida, y dos por cada etanol, salen dos moléculas de alcohol y dos de $\mathrm{CO_2}$:

$\mathrm{C_6H_{12}O_6(s)} \rightarrow 2\,\mathrm{C_2H_5OH(l)} + 2\,\mathrm{CO_2(g)}$

La entalpía se obtiene por la ley de Hess, restando a las entalpías de formación de los productos las de los reactivos:

$\Delta H_r^o = \sum \Delta H_f^o(\text{productos}) - \sum \Delta H_f^o(\text{reactivos})$

$\Delta H_r^o = 2\,(-277) + 2\,(-393{,}5) - (-1273{,}3)$

$\Delta H_r^o = -554 - 787 + 1273{,}3 = -67{,}7\ \mathrm{kJ \cdot mol^{-1}}$

El signo negativo indica que la fermentación libera calor: es un proceso exotérmico, y esos 67,7 kJ corresponden a cada mol de glucosa fermentado.

$\textbf{b) ¿Cuántos kilos de glucosa se han fermentado para liberar ese calor? Calcule también la masa de etanol que se ha obtenido en esa fermentación. (0,8 puntos)}$

$n(\text{glucosa}) = \frac{1692{,}5}{67{,}7} = 25\ \mathrm{mol}$

$M(\mathrm{C_6H_{12}O_6}) = 6 \cdot 12 + 12 \cdot 1 + 6 \cdot 16 = 180\ \mathrm{g/mol}$

$m(\text{glucosa}) = 25 \cdot 180 = 4500\ \mathrm{g} = 4{,}5\ \mathrm{kg}$

Por cada mol de glucosa se forman dos de etanol:

$n(\mathrm{C_2H_5OH}) = 2 \cdot 25 = 50\ \mathrm{mol}$

$M(\mathrm{C_2H_5OH}) = 2 \cdot 12 + 6 \cdot 1 + 16 = 46\ \mathrm{g/mol}$

$m(\mathrm{C_2H_5OH}) = 50 \cdot 46 = 2300\ \mathrm{g} = 2{,}3\ \mathrm{kg}$

Se han fermentado 4,5 kg de glucosa y se han obtenido 2,3 kg de etanol.

$\textbf{c) Calcule la variación de la energía libre de Gibbs en las condiciones de fermentación, indicando si el proceso será espontáneo. (0,4 puntos)}$

La energía libre combina el término entálpico y el entrópico. Antes de sustituir hay que pasar la entropía a kilojulios, porque el dato viene en $\mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}$:

$\Delta S_r^o = 536{,}9\ \mathrm{J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}} = 0{,}5369\ \mathrm{kJ \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}}$

$\Delta G_r^o = \Delta H_r^o - T\,\Delta S_r^o = -67{,}7 - 298 \cdot 0{,}5369$

$\Delta G_r^o = -67{,}7 - 160{,}0 = -227{,}7\ \mathrm{kJ \cdot mol^{-1}}$

Como $\Delta G_r^o < 0$, el proceso es espontáneo a 298 K. Además lo es en cualquier condición de temperatura: la reacción es a la vez exotérmica y con aumento de desorden, de modo que los dos términos empujan en el mismo sentido.