Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2026

La Luna, con masa $M_{L}$, describe aproximadamente una órbita circular alrededor de la Tierra, de masa $M_{T}$, con período $T = 27{,}3$ días.

En la recta que une los centros de la Luna y la Tierra existe un punto $P$ donde el campo gravitatorio debido a ambos astros es nulo. Halle la distancia $x$ desde el centro de la Tierra hasta ese punto. [0,75 puntos]

Determine el valor del potencial gravitatorio total en dicho punto $P$. [0,75 puntos]

Datos: Masa de la Luna ($M_{L}$): $7{,}35 \times 10^{22}$ kg; Masa de la Tierra ($M_{T}$): $5{,}97 \times 10^{24}$ kg; Constante de gravitación universal ($G$): $6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$; Radio de la Luna ($R_{L}$): $1{,}74 \times 10^{6}$ m.

$\textbf{En la recta que une los centros de la Luna y la Tierra existe un punto } \boldsymbol{P}\textbf{ donde el campo gravitatorio debido a ambos astros es nulo. Halle la distancia } \boldsymbol{x}\textbf{ desde el centro de la Tierra hasta ese punto. [0,75 puntos]}$










Los dos campos son atractivos, es decir, cada uno apunta hacia su astro. Fuera del segmento que une los centros los dos van en el mismo sentido y su suma no puede anularse; solo entre la Tierra y la Luna tienen sentidos opuestos, y ahí está el punto buscado.





Llamando $x$ a la distancia desde el centro de la Tierra, el punto está a $r-x$ del centro de la Luna, y allí los dos módulos deben coincidir:

$G\dfrac{M_T}{x^2}=G\dfrac{M_L}{(r-x)^2}$

Se simplifica $G$ y se toma la raíz cuadrada de los dos miembros, quedándose con la solución positiva:

$\dfrac{r-x}{x}=\sqrt{\dfrac{M_L}{M_T}}\Rightarrow x=\dfrac{r}{1+\sqrt{\dfrac{M_L}{M_T}}}$

Se sustituyen los datos:

$\sqrt{\dfrac{M_L}{M_T}}=\sqrt{\dfrac{7{,}35\cdot10^{22}}{5{,}97\cdot10^{24}}}=0{,}1110$

$x=\dfrac{3{,}83\cdot10^{8}}{1{,}1110}=3{,}45\cdot10^{8}\ \text{m}$

El punto $P$ está a $3{,}45\cdot10^{8}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, es decir, al 90 % del camino. Queda mucho más cerca de la Luna porque su masa es unas ochenta veces menor y su campo se debilita antes.

$\textbf{Determine el valor del potencial gravitatorio total en dicho punto } \boldsymbol{P}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar, así que el potencial total es la suma algebraica de los dos, sin descomponer en componentes:

$V_P=-G\dfrac{M_T}{x}-G\dfrac{M_L}{r-x}$

La distancia del punto al centro de la Luna es:

$r-x=3{,}83\cdot10^{8}-3{,}45\cdot10^{8}=3{,}82\cdot10^{7}\ \text{m}$

$V_P=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{3{,}45\cdot10^{8}}-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{3{,}82\cdot10^{7}}$

$V_P=-1{,}15\cdot10^{6}-1{,}28\cdot10^{5}=-1{,}28\cdot10^{6}\ \text{J/kg}$

El potencial gravitatorio total en $P$ vale $-1{,}28\cdot10^{6}\ \text{J/kg}$. Que el campo sea nulo no implica que el potencial lo sea: el campo es un vector y sus dos sumandos se cancelan, mientras que los dos potenciales son negativos y se suman.