Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2026

Un fragmento desprendido de un satélite de comunicaciones con masa $m = 1500$ kg describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura $h = 600$ km sobre su superficie. Desde la superficie terrestre se lanza una sonda de recolección con el objetivo de alcanzar dicha órbita. Se desprecia el rozamiento atmosférico y la rotación de la Tierra.

Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra. [0,5 puntos]

¿Cuál debe ser la energía mínima con la que debe lanzarse la sonda de recolección desde la superficie terrestre para alcanzar y quedar en la órbita circular del fragmento? [1 punto]

Datos: Masa de la Tierra ($M_{T}$): $5{,}97 \times 10^{24}$ kg; Radio de la Tierra ($R_{T}$): $6{,}37 \times 10^{6}$ m; Constante de gravitación universal ($G$): $6{,}67 \times 10^{-11}\ \mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$.

$\textbf{Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra. [0,5 puntos]}$

La velocidad de escape se obtiene imponiendo que la energía mecánica del cuerpo sea nula, porque el campo gravitatorio es conservativo y en el infinito tanto la energía cinética como la potencial se anulan:

$\dfrac{1}{2}m\,v_e^2-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=0\Rightarrow v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_T}{R_T}}$

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}37\cdot10^{6}}}=1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape desde la superficie terrestre es de $1{,}12\cdot10^{4}\ \text{m/s}$, unos 11,2 km/s.

$\textbf{¿Cuál debe ser la energía mínima con la que debe lanzarse la sonda de recolección desde la superficie terrestre para alcanzar y quedar en la órbita circular del fragmento? [1 punto]}$

La energía que hay que comunicar a la sonda es la diferencia entre su energía mecánica en la órbita y la que tiene en la superficie, donde parte del reposo:

$E_{\min}=E_{\text{órbita}}-E_{\text{superficie}}$

En la órbita circular la energía mecánica es la mitad de la potencial, como en el apartado anterior, y en la superficie solo hay energía potencial:

$E_{\min}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}-\left(-\dfrac{G\,M_T\,m}{R_T}\right)=G\,M_T\,m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2r}\right)$

El enunciado no da la masa de la sonda, así que el resultado se deja por unidad de masa:

$\dfrac{E_{\min}}{m}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\left(\dfrac{1}{6{,}37\cdot10^{6}}-\dfrac{1}{2\cdot6{,}97\cdot10^{6}}\right)$

$\dfrac{E_{\min}}{m}=3{,}39\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$

Hay que lanzar la sonda con $3{,}39\cdot10^{7}\ \text{J}$ por cada kilogramo de masa. Es bastante menos que la energía necesaria para escapar, $\tfrac{1}{2}v_e^2=6{,}25\cdot10^{7}\ \text{J/kg}$: quedarse en órbita sale más barato que marcharse.