Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Aragón · 2025

Se lanza un electrón a una velocidad de $2{,}04 \cdot 10^{6}$ km/h, calcule su energía cinética y su longitud de onda asociada. [1 punto]

Datos: Masa del electrón: $9{,}1 \cdot 10^{-31}$ kg; Constante de Planck: $6{,}626 \cdot 10^{-34}$ J·s.

$\textbf{Se lanza un electrón a una velocidad de } \boldsymbol{2{,}04 \cdot 10^{6}}\textbf{ km/h, calcule su energía cinética y su longitud de onda asociada. [1 punto]}$

Lo primero es pasar la velocidad a unidades del Sistema Internacional:

$v=2{,}04\cdot10^{6}\ \dfrac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\dfrac{1000\ \text{m}}{1\ \text{km}}\cdot\dfrac{1\ \text{h}}{3600\ \text{s}}=5{,}67\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Es menos del 1 % de la velocidad de la luz, así que el electrón no es relativista y vale la expresión clásica de la energía cinética:

$E_c=\dfrac{1}{2}m_e\,v^2=\dfrac{1}{2}\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\left(5{,}67\cdot10^{5}\right)^2$

$E_c=1{,}46\cdot10^{-19}\ \text{J}$

La cantidad de movimiento del electrón es el producto de su masa por su velocidad:

$p=m_e\,v=9{,}1\cdot10^{-31}\cdot5{,}67\cdot10^{5}=5{,}16\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$

Y con la hipótesis de De Broglie se obtiene la longitud de onda asociada:

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{5{,}16\cdot10^{-25}}=1{,}28\cdot10^{-9}\ \text{m}$

La energía cinética del electrón es de $1{,}46\cdot10^{-19}\ \text{J}$, es decir, $0{,}91\ \text{eV}$, y su longitud de onda asociada, de $1{,}28\cdot10^{-9}\ \text{m}$. Es del orden de las distancias entre átomos de un cristal, que es lo que permite usar electrones para estudiar su estructura.