Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2025

La densidad promedio lunar es de 3,34 g/cm$^{3}$. ¿Cuál será su radio promedio? [0,75 puntos]

¿Y el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna? [0,75 puntos]

Datos: Constante de gravitación universal: $6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$; Masa de la Luna: $7{,}349 \times 10^{22}$ kg.

$\textbf{La densidad promedio lunar es de 3,34 g/cm} \boldsymbol{^3}\textbf{. ¿Cuál será su radio promedio? [0,75 puntos]}$

Suponiendo la Luna esférica y homogénea, su densidad es el cociente entre su masa y el volumen de la esfera:

$\rho=\dfrac{M_L}{V}=\dfrac{M_L}{\dfrac{4}{3}\pi R_L^3}$

Se despeja el radio:

$R_L=\sqrt[3]{\dfrac{3\,M_L}{4\pi\rho}}$

La densidad se pasa a unidades del Sistema Internacional:

$\rho=3{,}34\ \dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}=3340\ \dfrac{\text{kg}}{\text{m}^3}$

$R_L=\sqrt[3]{\dfrac{3\cdot7{,}349\cdot10^{22}}{4\pi\cdot3340}}=1{,}74\cdot10^{6}\ \text{m}$

El radio promedio de la Luna es de $1{,}74\cdot10^{6}\ \text{m}$, o sea unos 1738 km: algo más de la cuarta parte del radio terrestre.

$\textbf{¿Y el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna? [0,75 puntos]}$

La aceleración de la gravedad en la superficie de un astro es el módulo de su campo gravitatorio allí, que se obtiene aplicando la ley de Newton a la unidad de masa:

$g_L=G\dfrac{M_L}{R_L^2}$

$g_L=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}349\cdot10^{22}}{\left(1{,}74\cdot10^{6}\right)^2}=1{,}62\ \text{m/s}^2$

La gravedad en la superficie de la Luna vale $1{,}62\ \text{m/s}^2$, la sexta parte de la terrestre. Es lo que explica los saltos de los astronautas del programa Apolo.