Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2025

La expresión de un M.A.S. es $x(t) = 0{,}85 \cos(1{,}5\pi\,t + \phi)\ \mathrm{m}$. ¿Cuál es el valor de la fase inicial $\phi$ para que se cumpla que $x(1) = 0{,}3\ \mathrm{m}$? [0,35 puntos]

Determine el periodo de la oscilación [0,2 puntos] y la velocidad máxima. [0,2 puntos]

$\textbf{¿Cuál es el valor de la fase inicial } \boldsymbol{\phi}\textbf{ para que se cumpla que } \boldsymbol{x(1) = 0{,}3\ \text{m}}\textbf{? [0,35 puntos]}$

Se impone la condición del enunciado en la ecuación del movimiento:

$x(1)=0{,}85\cos\left(1{,}5\pi\cdot1+\phi\right)=0{,}3$

Se despeja el coseno y se toma el arco coseno:

$\cos\left(1{,}5\pi+\phi\right)=\dfrac{0{,}3}{0{,}85}=0{,}353$

$1{,}5\pi+\phi=\arccos\left(0{,}353\right)=1{,}21\ \text{rad}$

$\phi=1{,}21-1{,}5\pi=-3{,}50\ \text{rad}$

La fase inicial vale $\phi=-3{,}50\ \text{rad}$. El arco coseno tiene dos ramas, así que $\phi=-1{,}21-1{,}5\pi$ también cumple la condición; las dos describen el mismo movimiento pasando por ese punto en sentidos contrarios.

$\textbf{Determine el periodo de la oscilación. [0,2 puntos]}$

La frecuencia angular es el coeficiente que multiplica al tiempo dentro del coseno, $\omega=1{,}5\pi\ \text{rad/s}$, y el periodo es su inverso salvo el factor $2\pi$:

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{1{,}5\pi}=1{,}33\ \text{s}$

El periodo de la oscilación es de $1{,}33\ \text{s}$.

$\textbf{Determine la velocidad máxima. [0,2 puntos]}$

La velocidad de un movimiento armónico simple es la derivada de la elongación:

$v(t)=\dfrac{dx}{dt}=-A\,\omega\,\text{sen}\,(\omega t+\phi)$

Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale $\pm1$, es decir, al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{\max}=A\,\omega=0{,}85\cdot1{,}5\pi=4{,}01\ \text{m/s}$

La velocidad máxima es de $4{,}01\ \text{m/s}$, y se alcanza en el centro de la oscilación, donde la elongación es nula.