Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Aragón · 2020

a) Explique la dualidad onda-corpúsculo: escriba la ecuación de De Broglie y comente su significado e importancia física. [1 punto]

b) Calcule la longitud de onda correspondiente a un electrón con 20 eV de energía cinética. [1,5 puntos]

Datos: $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$; $1\ \text{eV} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$; $m_e = 9{,}1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Explique la dualidad onda-corpúsculo: escriba la ecuación de De Broglie y comente su significado e importancia física. [1 punto]}$

La dualidad onda-corpúsculo es el hecho de que la radiación y la materia presentan a la vez propiedades ondulatorias y corpusculares, y que el comportamiento que se observa depende del experimento realizado, no de la naturaleza del objeto.

La luz fue el primer caso conocido: difracta e interfiere como una onda, pero intercambia energía en cuantos, los fotones, lo que explica el efecto fotoeléctrico. Un fotón lleva asociada una cantidad de movimiento $p=E/c=h/\lambda$.

De Broglie invirtió el razonamiento en 1924 y postuló que también la materia debía tener carácter ondulatorio. Toda partícula con cantidad de movimiento $p$ lleva asociada una onda de longitud de onda:

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}$

Su importancia física es doble. Por un lado, se confirmó experimentalmente pocos años después al observarse la difracción de electrones en un cristal, y es el fundamento del microscopio electrónico, que alcanza resoluciones imposibles con luz visible. Por otro, la longitud de onda asociada resulta inapreciable para los cuerpos macroscópicos —de ahí que la dualidad solo se manifieste en el mundo subatómico— y la hipótesis fue uno de los pilares sobre los que se construyó la mecánica cuántica.

$\textbf{b) Calcule la longitud de onda correspondiente a un electrón con 20 eV de energía cinética. [1,5 puntos]}$










Primero se pasa la energía cinética a unidades del Sistema Internacional:

$E_c=20\ \text{eV}\cdot\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}}{1\ \text{eV}}$

$E_c=3{,}2\cdot10^{-18}\ \text{J}$





A esa energía el electrón es no relativista, así que su velocidad sale de la expresión clásica:

$E_c=\dfrac{1}{2}m_e\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m_e}}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot3{,}2\cdot10^{-18}}{9{,}1\cdot10^{-31}}}=2{,}65\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

Y aplicando la ecuación de De Broglie:

$\lambda=\dfrac{h}{m_e\,v}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot2{,}65\cdot10^{6}}$

$\lambda=2{,}75\cdot10^{-10}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada al electrón es de $2{,}75\cdot10^{-10}\ \text{m}$, es decir, 2,75 angstroms. Es del orden de las distancias entre átomos de un cristal, y por eso un haz de electrones de esa energía difracta al atravesarlo: es justamente el experimento que confirmó la hipótesis de De Broglie.