Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2020

a) Deduzca razonadamente la expresión de la velocidad de escape de un planeta de radio $R$ y masa $M$. [1 punto]

b) Calcule la velocidad de escape del planeta enano Ceres, considerando su forma aproximadamente esférica, sabiendo que su radio es 469,7 km y su densidad media es de $2077\ \text{kg}/\text{m}^3$. [1,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Deduzca razonadamente la expresión de la velocidad de escape de un planeta de radio } \boldsymbol{R}\textbf{ y masa } \boldsymbol{M}\textbf{. [1 punto]}$










La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie para que se aleje indefinidamente, es decir, para que llegue al infinito con velocidad nula.

El campo gravitatorio es conservativo y, si se desprecia el rozamiento, no actúan otras fuerzas: la energía mecánica se conserva.





En el infinito tanto la energía cinética como la potencial son nulas, luego la energía mecánica en la superficie debe serlo también:

$E_c(R)+E_p(R)=E_c(\infty)+E_p(\infty)=0$

$\dfrac{1}{2}m\,v_e^2-G\dfrac{M\,m}{R}=0$

Se despeja la velocidad de escape, y se observa que la masa del cuerpo lanzado se simplifica: es la misma para un guijarro que para una nave.

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

$\textbf{b) Calcule la velocidad de escape del planeta enano Ceres, considerando su forma aproximadamente esférica, sabiendo que su radio es 469,7 km y su densidad media es de } \boldsymbol{2077\ \text{kg/m}^3}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El enunciado no da la masa, sino la densidad, así que hay que obtenerla del volumen de la esfera:

$M=\rho\,V=\rho\,\dfrac{4}{3}\pi R^3$

$R=469{,}7\ \text{km}=4{,}697\cdot10^{5}\ \text{m}$

$M=2077\cdot\dfrac{4}{3}\pi\left(4{,}697\cdot10^{5}\right)^3=9{,}02\cdot10^{20}\ \text{kg}$

Y con la expresión deducida en el apartado anterior:

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot9{,}02\cdot10^{20}}{4{,}697\cdot10^{5}}}$

$v_e=5{,}06\cdot10^{2}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape de Ceres es de $5{,}06\cdot10^{2}\ \text{m/s}$, unos 0,5 km/s: veintidós veces menor que la terrestre. Con una velocidad tan pequeña, Ceres no puede retener una atmósfera, porque las moléculas de gas la superan con facilidad a temperaturas ordinarias.