Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2020

En el laboratorio se está realizando una práctica con un muelle colgado verticalmente de un soporte fijo.

a) Al colgar una pesa de masa $m = 100\ \text{g}$ de su extremo inferior, se observa que el alargamiento del muelle en equilibrio es $\Delta L = 10{,}4\ \text{cm}$. Si se sustituye la pesa por otra de masa $m' = 250\ \text{g}$, ¿cuál se espera que sea el nuevo alargamiento en equilibrio? [1 punto]

b) Se suspende ahora del muelle una tercera pesa de masa desconocida. Tras dar un pequeño empujón vertical a la pesa, se cronometra el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones completas y se obtienen 7,9 s. Supuesto que la masa del muelle es despreciable, ¿cuál será la masa de esa pesa? [1,5 puntos]

Dato: $g = 9{,}8\ \text{m}/\text{s}^2$.

$\textbf{a) Al colgar una pesa de masa } \boldsymbol{m=100\ \text{g}}\textbf{ de su extremo inferior, se observa que el alargamiento del muelle en equilibrio es } \boldsymbol{\Delta L=10{,}4\ \text{cm}}\textbf{. Si se sustituye la pesa por otra de masa } \boldsymbol{m'=250\ \text{g}}\textbf{, ¿cuál se espera que sea el nuevo alargamiento en equilibrio? [1 punto]}$










Con la pesa colgada y en reposo, la fuerza elástica del muelle equilibra al peso. Por la ley de Hooke:

$k\,\Delta L=m\,g\Rightarrow k=\dfrac{m\,g}{\Delta L}$

$k=\dfrac{0{,}100\cdot9{,}8}{0{,}104}=9{,}42\ \text{N/m}$





La constante elástica es una propiedad del muelle y no cambia al cambiar la pesa, así que basta repetir el equilibrio con la nueva masa:

$\Delta L'=\dfrac{m'\,g}{k}=\dfrac{0{,}250\cdot9{,}8}{9{,}42}$

$\Delta L'=0{,}26\ \text{m}$

El nuevo alargamiento es de $0{,}26\ \text{m}$, es decir, 26 cm. El resultado se podía anticipar sin calcular la constante: el alargamiento es directamente proporcional a la masa, y 250 g son dos veces y media 100 g, así que $2{,}5\cdot10{,}4=26\ \text{cm}$.

$\textbf{b) Se suspende ahora del muelle una tercera pesa de masa desconocida. Tras dar un pequeño empujón vertical a la pesa, se cronometra el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones completas y se obtienen 7,9 s. Supuesto que la masa del muelle es despreciable, ¿cuál será la masa de esa pesa? [1,5 puntos]}$

El periodo es el tiempo de una oscilación completa, así que se obtiene dividiendo el tiempo medido entre el número de oscilaciones. Cronometrar diez y dividir es, precisamente, la forma de reducir el error de medida:

$T=\dfrac{7{,}9}{10}=0{,}79\ \text{s}$

Una masa colgada de un muelle ideal describe un movimiento armónico simple de periodo:

$T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Se despeja la masa:

$m=\dfrac{k\,T^2}{4\pi^2}=\dfrac{9{,}42\cdot0{,}79^2}{4\pi^2}$

$m=0{,}149\ \text{kg}$

La masa de la tercera pesa es de $0{,}149\ \text{kg}$, unos 149 g. Conviene subrayar que este método de pesar no necesita la gravedad: mide masa inercial y funcionaría igual en la Luna o en una estación espacial, mientras que el del apartado a) depende de $g$.