Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Aragón · 2020

a) Explique las características de las lentes convergentes y divergentes. Mediante una interpretación gráfica indique en qué posición debe colocarse un objeto delante de una lente convergente para producir una imagen virtual. [1 punto]

Se desea proyectar sobre una pantalla la imagen de una diapositiva empleando una lente delgada convergente de focal $f' = 5\ \text{cm}$ de forma que la imagen se proyecte invertida y con un tamaño 30 veces mayor que el de la diapositiva.

b) Calcule las distancias diapositiva-lente y lente-pantalla. [1 punto]

c) Dibuje un trazado de rayos que explique gráficamente este proceso de formación de la imagen. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Explique las características de las lentes convergentes y divergentes. Mediante una interpretación gráfica indique en qué posición debe colocarse un objeto delante de una lente convergente para producir una imagen virtual. [1 punto]}$

Una lente convergente es más gruesa en el centro que en los bordes y hace que un haz de rayos paralelos al eje converja, tras atravesarla, en un punto real situado detrás de ella. Su distancia focal imagen es positiva y su potencia también.

Una lente divergente es más delgada en el centro que en los bordes y hace que ese mismo haz emerja divergiendo, como si procediera de un punto situado delante de ella. Su distancia focal imagen es negativa, y da siempre imágenes virtuales, derechas y menores, sea cual sea la posición del objeto.

Con una lente convergente, en cambio, el tipo de imagen depende de dónde se coloque el objeto. Para obtener una imagen virtual hay que situarlo entre el foco objeto y la lente, es decir, a una distancia menor que la distancia focal. En esa posición los rayos emergentes divergen y no llegan a cortarse: lo que se corta son sus prolongaciones hacia atrás, del mismo lado que el objeto, y la imagen resulta virtual, derecha y mayor. Es el funcionamiento de la lupa.

Si el objeto se coloca más allá del foco, los rayos emergentes convergen realmente y la imagen es real e invertida, que es el caso del apartado siguiente.

$\textbf{b) Calcule las distancias diapositiva-lente y lente-pantalla. [1 punto]}$

Se usa el criterio DIN, con el origen en el centro óptico y las distancias medidas desde él. Que la imagen sea invertida y 30 veces mayor significa que el aumento lateral vale:

$\beta=\dfrac{y'}{y}=\dfrac{s'}{s}=-30\Rightarrow s'=-30\,s$

Se sustituye en la ecuación de las lentes delgadas, con $f'=5\ \text{cm}$:

$\dfrac{1}{s'}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f'}\Rightarrow \dfrac{1}{-30\,s}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{5}$

$-\dfrac{31}{30\,s}=\dfrac{1}{5}\Rightarrow s=-\dfrac{155}{30}=-5{,}17\ \text{cm}$

$s'=-30\,s=155\ \text{cm}$

La diapositiva debe colocarse a $5{,}17\ \text{cm}$ de la lente y la pantalla, a $155\ \text{cm}$ al otro lado. Obsérvese que la diapositiva queda justo un poco más allá del foco, a solo 1,7 mm de él: así es como se consiguen aumentos grandes.

$\textbf{c) Dibuje un trazado de rayos que explique gráficamente este proceso de formación de la imagen. [0,5 puntos]}$



En el trazado se han dibujado los tres rayos habituales: el paralelo al eje, que emerge pasando por el foco imagen $F'$; el que pasa por el centro óptico, que no se desvía; y el dirigido al foco objeto $F$, que emerge paralelo al eje. Los tres se cortan en el extremo de la imagen, al otro lado de la lente y por debajo del eje: la imagen es real e invertida, y por eso las diapositivas se colocan del revés en el proyector.

El dibujo es un esquema sin escala: con las distancias reales, la imagen quedaría treinta veces más alta que el objeto y a treinta veces la distancia, y no cabría en la página.