Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2020

a) Explique el concepto de energía potencial gravitatoria. ¿Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa $m$ situada a una distancia $r$ de otra de masa $M$? [1 punto]

b) El nanosatélite Lume-1, desarrollado en la Universidad de Vigo, de masa $m = 2{,}1\ \text{kg}$, describe una órbita en torno a la Tierra, a una altura $h = 481{,}44\ \text{km}$ sobre su superficie. Suponiendo que la órbita es circular, calcule su velocidad y su periodo. [1,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_{\text{Tierra}} = 6371\ \text{km}$.

$\textbf{a) Explique el concepto de energía potencial gravitatoria. ¿Qué energía potencial gravitatoria tiene una partícula de masa } \boldsymbol{m}\textbf{ situada a una distancia } \boldsymbol{r}\textbf{ de otra de masa } \boldsymbol{M}\textbf{? [1 punto]}$

La fuerza gravitatoria es conservativa: el trabajo que realiza al desplazar un cuerpo entre dos puntos no depende del camino seguido, sino solo de las posiciones inicial y final. Eso permite asociar al sistema una energía potencial, cuya variación cambiada de signo es ese trabajo.

La energía potencial gravitatoria de dos masas es el trabajo que hay que realizar contra la fuerza gravitatoria para traerlas desde el infinito, donde no interaccionan, hasta la distancia a la que se encuentran. Es una energía del sistema formado por las dos, no de una sola.

Para una partícula de masa $m$ situada a una distancia $r$ de otra de masa $M$:

$E_p=-G\dfrac{M\,m}{r}$

Se mide en julios. El signo negativo procede de tomar el origen de energías en el infinito y de que la fuerza sea siempre atractiva: hay que aportar energía para separar las masas, así que la energía potencial aumenta —se hace menos negativa— al alejarlas, y tiende a cero en el infinito.

$\textbf{b) El nanosatélite Lume-1, de masa } \boldsymbol{m=2{,}1\ \text{kg}}\textbf{, describe una órbita en torno a la Tierra, a una altura } \boldsymbol{h=481{,}44\ \text{km}}\textbf{ sobre su superficie. Suponiendo que la órbita es circular, calcule su velocidad y su periodo. [1,5 puntos]}$










La distancia del satélite al centro de la Tierra es:

$r=R_T+h=6371+481{,}44=6852{,}44\ \text{km}$

$r=6{,}852\cdot10^{6}\ \text{m}$





Al ser la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

La masa del satélite se simplifica, así que el dato de los 2,1 kg no interviene:

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{6{,}852\cdot10^{6}}}=7{,}62\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Y el periodo, al ser el movimiento circular uniforme:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot6{,}852\cdot10^{6}}{7{,}62\cdot10^{3}}=5{,}65\cdot10^{3}\ \text{s}$

El Lume-1 orbita a $7{,}62\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ con un periodo de $5{,}65\cdot10^{3}\ \text{s}$, es decir, unos 94 minutos: da algo más de quince vueltas a la Tierra cada día.