Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2020

a) Escriba la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple y comente el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación. [1 punto]

Una partícula realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud y tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. En el instante $t = 0$ se encuentra en el punto de velocidad cero y elongación positiva. Calcule:

b) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. [0,5 puntos]

c) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante $t = 0{,}5\ \text{s}$. [1 punto]

Nota: considere que los desplazamientos respecto a la posición de equilibrio son positivos cuando el muelle está estirado.

$\textbf{a) Escriba la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple y comente el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación. [1 punto]}$

La elongación de un movimiento armónico simple es una función sinusoidal del tiempo:

$x(t)=A\,\text{sen}\,(\omega t+\varphi_0)$

Las magnitudes que aparecen son cuatro:

$x$ es la elongación, la separación de la partícula respecto de su posición de equilibrio en cada instante. Se mide en metros.

$A$ es la amplitud, el valor máximo de la elongación. También en metros, y viene fijada por las condiciones iniciales.

$\omega$ es la frecuencia angular, en radianes por segundo, relacionada con el periodo y la frecuencia mediante $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$. Depende solo de las características del oscilador: en un muelle, de la constante elástica y de la masa.

$\varphi_0$ es la fase inicial, en radianes, que indica en qué punto del ciclo se encontraba la partícula en el instante $t=0$.

$\textbf{b) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. [0,5 puntos]}$










De los datos del enunciado salen la amplitud y la frecuencia angular:

$A=10\ \text{cm}=0{,}10\ \text{m}$

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{2}=\pi\ \text{rad/s}$

En $t=0$ la velocidad es cero y la elongación positiva, es decir, la partícula está en el extremo positivo.





La función que cumple esa condición es un coseno con fase inicial nula:

$x(t)=A\cos(\omega t)=0{,}10\cos(\pi t)\ \text{m}$

$\textbf{c) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante } \boldsymbol{t=0{,}5\ \text{s}}\textbf{. [1 punto]}$

La velocidad y la aceleración se obtienen derivando sucesivamente la elongación:

$v(t)=\dfrac{dx}{dt}=-A\,\omega\,\text{sen}\,(\omega t)$

$a(t)=\dfrac{dv}{dt}=-A\,\omega^2\cos(\omega t)$

Se sustituye el instante pedido, teniendo en cuenta que $\pi\cdot0{,}5=\pi/2$:

$v(0{,}5)=-0{,}10\pi\,\text{sen}\,\dfrac{\pi}{2}=-0{,}10\pi=-0{,}314\ \text{m/s}$

$a(0{,}5)=-0{,}10\pi^2\cos\dfrac{\pi}{2}=0\ \text{m/s}^2$

En $t=0{,}5\ \text{s}$ la partícula se mueve a $0{,}314\ \text{m/s}$ en sentido negativo y su aceleración es nula. Es coherente: medio periodo son 1 s, así que a los 0,5 s ha recorrido un cuarto de oscilación y está pasando por la posición de equilibrio, donde la velocidad es máxima y la aceleración se anula.