Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Aragón · 2021

a) Explique la fuerza ejercida entre dos hilos conductores paralelos indefinidos, separados una distancia $d$ y por los que circulan sendas corrientes $I_1$ e $I_2$ que llevan el mismo sentido. ¿Cómo se modifica la fuerza entre corrientes en el caso de que las intensidades lleven sentido opuesto? [1 punto]

Por un hilo conductor rectilíneo vertical de longitud infinita situado en el eje $z$, circula una corriente de 20 A en el sentido positivo de dicho eje. Un segundo hilo conductor, también infinitamente largo y paralelo al anterior, corta el eje $y$ en el punto de coordenada $y = 10\ \text{cm}$. Determine:

b) La intensidad y el sentido de la corriente del segundo hilo, sabiendo que el campo magnético resultante en el punto del eje $y$ de coordenada $y = 2\ \text{cm}$ es nulo. [0,75 puntos]

c) La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor, explicando cuál es su dirección y sentido. [0,75 puntos]

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{T}\ \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$.

$\textbf{a) Explique la fuerza ejercida entre dos hilos conductores paralelos indefinidos, separados una distancia } \boldsymbol{d}\textbf{ y por los que circulan sendas corrientes } \boldsymbol{I_1}\textbf{ e } \boldsymbol{I_2}\textbf{ que llevan el mismo sentido. ¿Cómo se modifica la fuerza entre corrientes en el caso de que las intensidades lleven sentido opuesto? [1 punto]}$










Cada conductor crea a su alrededor un campo magnético cuyo módulo, a una distancia $d$, vale:

$B_1=\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi d}$

El segundo conductor está inmerso en ese campo, y como transporta corriente, experimenta la fuerza de Lorentz.





Combinando ambas expresiones se obtiene la fuerza por unidad de longitud:

$\dfrac{F}{l}=\dfrac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi d}$

Cuando las dos corrientes llevan el mismo sentido, la aplicación de la regla de la mano derecha da una fuerza dirigida de cada conductor hacia el otro: los hilos se atraen.

Si las intensidades llevan sentidos opuestos, el campo que crea uno de ellos cambia de signo y las dos fuerzas se invierten: el módulo es exactamente el mismo, pero ahora los hilos se repelen.

En los dos casos las dos fuerzas son iguales en módulo y opuestas en sentido, como exige el principio de acción y reacción, aunque las intensidades sean distintas. Esta expresión es, de hecho, la que servía para definir el amperio en el Sistema Internacional antes de 2019.

$\textbf{b) La intensidad y el sentido de la corriente del segundo hilo, sabiendo que el campo magnético resultante en el punto del eje } \boldsymbol{y}\textbf{ de coordenada } \boldsymbol{y=2\ \text{cm}}\textbf{ es nulo. [0,75 puntos]}$










El punto donde se anula el campo está entre los dos hilos: a 2 cm del primero y a 8 cm del segundo.

Para que los dos campos se cancelen deben tener sentidos opuestos en ese punto, y eso, en la región comprendida entre los conductores, solo ocurre si las dos corrientes circulan en el mismo sentido.





Se igualan los módulos de los dos campos:

$\dfrac{\mu_0\,I_1}{2\pi\,d_1}=\dfrac{\mu_0\,I_2}{2\pi\,d_2}\Rightarrow \dfrac{I_1}{d_1}=\dfrac{I_2}{d_2}$

$I_2=I_1\dfrac{d_2}{d_1}=20\cdot\dfrac{0{,}08}{0{,}02}$

$I_2=80\ \text{A}$

Por el segundo hilo circulan $80\ \text{A}$ en el sentido positivo del eje $z$, el mismo que en el primero. Es coherente que sea mayor: está cuatro veces más lejos del punto de anulación y necesita cuatro veces más corriente para crear allí el mismo campo.

$\textbf{c) La fuerza por unidad de longitud que actúa sobre cada conductor, explicando cuál es su dirección y sentido. [0,75 puntos]}$

Se aplica la expresión del apartado a) con la separación real entre los dos hilos, que son los 10 cm del enunciado:

$\dfrac{F}{l}=\dfrac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi d}=\dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot20\cdot80}{2\pi\cdot0{,}10}$

$\dfrac{F}{l}=3{,}2\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$

Sobre cada conductor actúa la misma fuerza por unidad de longitud, $3{,}2\cdot10^{-3}\ \text{N/m}$.

En cuanto a la dirección y el sentido: la fuerza es perpendicular a los dos hilos, es decir, tiene la dirección del eje $y$, que es el que los une. Como las dos corrientes llevan el mismo sentido, son de atracción: sobre el hilo del eje $z$ la fuerza apunta en el sentido positivo del eje $y$, y sobre el segundo hilo, en el negativo.