Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2021

a) Enuncie y explique las leyes de Kepler. [1 punto]

b) Calcule la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones de kilómetros de radio y emplea 365,25 días en recorrerla por completo. [1,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Enuncie y explique las leyes de Kepler. [1 punto]}$










Primera ley. Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, y el Sol ocupa uno de los focos de la elipse. La órbita circular es el caso particular de excentricidad nula.

Segunda ley. El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales, de modo que el planeta va más deprisa cuanto más cerca está del Sol.





Tercera ley. Para todos los planetas, el cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita, y la constante de proporcionalidad depende solo de la masa del astro central:

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}$

Las tres leyes son empíricas: Kepler las obtuvo del análisis de las observaciones de Tycho Brahe, medio siglo antes de que Newton las dedujera de la ley de gravitación universal. La segunda es consecuencia de que la fuerza gravitatoria sea central, lo que hace que se conserve el momento angular; la tercera, de que vaya con el inverso del cuadrado de la distancia.

Aunque se enunciaron para los planetas del sistema solar, valen para cualquier sistema de cuerpos que orbite alrededor de otro mucho más masivo, como los satélites de un planeta.

$\textbf{b) Calcule la masa del Sol, considerando que la Tierra describe una órbita circular de 150 millones de kilómetros de radio y emplea 365,25 días en recorrerla por completo. [1,5 puntos]}$

Se despeja la masa del astro central de la tercera ley de Kepler:

$M_{\text{Sol}}=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$

Antes de sustituir se pasan los dos datos a unidades del Sistema Internacional:

$r=150\cdot10^{6}\ \text{km}=1{,}5\cdot10^{11}\ \text{m}$

$T=365{,}25\ \text{días}\cdot\dfrac{86\,400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=3{,}156\cdot10^{7}\ \text{s}$

$M_{\text{Sol}}=\dfrac{4\pi^2\left(1{,}5\cdot10^{11}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\left(3{,}156\cdot10^{7}\right)^2}$

$M_{\text{Sol}}=2{,}01\cdot10^{30}\ \text{kg}$

La masa del Sol es de $2{,}01\cdot10^{30}\ \text{kg}$, unas 333 000 veces la masa de la Tierra. Nótese que la masa de la Tierra no interviene en el cálculo: se simplifica al igualar la fuerza gravitatoria con la centrípeta.