Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Aragón · 2021

Una fuente sonora puntual emite con una potencia de $10^{-6}\ \text{W}$.

a) Determine el nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente sonora. [1,25 puntos]

b) ¿A qué distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la mitad del valor anterior? [1,25 puntos]

Dato: la intensidad umbral del oído humano es $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}/\text{m}^2$.

$\textbf{a) Determine el nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente sonora. [1,25 puntos]}$










Al ser la fuente puntual, la potencia se reparte por igual sobre la superficie de los frentes de onda, que son esferas concéntricas. La intensidad a una distancia $r$ es la potencia por unidad de superficie:

$I=\dfrac{P}{4\pi r^2}$





A un metro de la fuente:

$I_1=\dfrac{10^{-6}}{4\pi\cdot1^2}=7{,}96\cdot10^{-8}\ \text{W/m}^2$

Y el nivel de intensidad, por definición de la escala decibélica:

$\beta_1=10\log\dfrac{I_1}{I_0}=10\log\dfrac{7{,}96\cdot10^{-8}}{10^{-12}}$

$\beta_1=10\log\left(7{,}96\cdot10^{4}\right)=49{,}0\ \text{dB}$

A un metro de la fuente el nivel de intensidad es de $49{,}0\ \text{dB}$, comparable al de una conversación tranquila.

$\textbf{b) ¿A qué distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la mitad del valor anterior? [1,25 puntos]}$

Conviene subrayar que lo que se reduce a la mitad es el nivel en decibelios, no la intensidad: la escala es logarítmica y las dos cosas son muy distintas.

$\beta_2=\dfrac{\beta_1}{2}=\dfrac{49{,}0}{2}=24{,}5\ \text{dB}$

Se deshace el logaritmo para obtener la intensidad correspondiente:

$I_2=I_0\,10^{\beta_2/10}=10^{-12}\cdot10^{2{,}45}=2{,}82\cdot10^{-10}\ \text{W/m}^2$

Y se despeja la distancia de la expresión de la intensidad:

$r=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I_2}}=\sqrt{\dfrac{10^{-6}}{4\pi\cdot2{,}82\cdot10^{-10}}}$

$r=16{,}8\ \text{m}$

El nivel de intensidad se ha reducido a la mitad a $16{,}8\ \text{m}$ de la fuente. Obsérvese que para reducir a la mitad el número de decibelios ha hecho falta multiplicar la distancia por casi diecisiete, porque la intensidad ha tenido que caer por un factor de 282.