Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2021

Una partícula de masa 100 g realiza un movimiento armónico simple de amplitud 3 m y cuya aceleración viene dada por la expresión $a = -9\pi^2 x\ \text{m}/\text{s}^2$. Se ha empezado a contar el tiempo cuando la aceleración adquiere su valor absoluto máximo en los desplazamientos positivos. Calcule:

a) El periodo y la constante recuperadora del sistema. [0,5 puntos]

b) La expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo, $x = x(t)$. [1 punto]

c) Las energías cinética y potencial en el punto donde tiene velocidad máxima. [1 punto]

$\textbf{a) El periodo y la constante recuperadora del sistema. [0,5 puntos]}$

En un movimiento armónico simple la aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario:

$a=-\omega^2 x$

Comparando con la expresión del enunciado se identifica la frecuencia angular:

$\omega^2=9\pi^2\Rightarrow \omega=3\pi=9{,}42\ \text{rad/s}$

De ella salen el periodo y la constante recuperadora:

$T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{3\pi}=0{,}667\ \text{s}$

$k=m\,\omega^2=0{,}1\cdot9\pi^2=8{,}88\ \text{N/m}$

El periodo del movimiento es de $0{,}667\ \text{s}$ y la constante recuperadora, de $8{,}88\ \text{N/m}$.

$\textbf{b) La expresión matemática del desplazamiento en función del tiempo, } \boldsymbol{x=x(t)}\textbf{. [1 punto]}$










La aceleración es máxima en valor absoluto donde la elongación lo es, es decir, en los extremos de la trayectoria.

Que el cronómetro se ponga en cero en los desplazamientos positivos significa que en $t=0$ la partícula está en $x=+A$. La función que cumple esa condición es un coseno con fase inicial nula.





$x(t)=A\cos(\omega t)=3\cos(3\pi t)\ \text{m}$

con $x$ en metros y $t$ en segundos.

$\textbf{c) Las energías cinética y potencial en el punto donde tiene velocidad máxima. [1 punto]}$

La velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio, es decir, en $x=0$. Ahí la energía potencial elástica es nula:

$E_p=\dfrac{1}{2}k\,x^2=0\ \text{J}$

Y como la energía mecánica se conserva, toda ella es cinética en ese punto:

$E_c=E_m=\dfrac{1}{2}k\,A^2=\dfrac{1}{2}\cdot8{,}88\cdot3^2$

$E_c=4{,}00\cdot10^{1}\ \text{J}$

En el punto de velocidad máxima la energía potencial es nula y la cinética vale $40{,}0\ \text{J}$, que es toda la energía mecánica del oscilador. Se puede comprobar con la velocidad máxima, $v_{\max}=A\,\omega=28{,}3\ \text{m/s}$, que da el mismo valor de $\frac12 m v_{\max}^2$.