Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Aragón · 2021

a) ¿Qué fuerza actúa sobre una partícula, de masa $m$ y carga eléctrica $q$, que penetra con velocidad $\vec{v}$ en una región del espacio donde existe un campo magnético $\vec{B}$ uniforme? Explique dicha ecuación analizando cómo intervienen cada una de las magnitudes que determinan la fuerza creada por el campo magnético. [1 punto]

b) Un protón y un electrón se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme, con igual velocidad. ¿Qué tipo de trayectoria realiza cada uno de ellos? Determine la relación entre los radios que describe cada una de las partículas. [1,5 puntos]

Dato: se considera que la masa del protón es igual, aproximadamente, a 1836 veces la masa del electrón.

$\textbf{a) ¿Qué fuerza actúa sobre una partícula, de masa } \boldsymbol{m}\textbf{ y carga eléctrica } \boldsymbol{q}\textbf{, que penetra con velocidad } \boldsymbol{\vec v}\textbf{ en una región del espacio donde existe un campo magnético } \boldsymbol{\vec B}\textbf{ uniforme? Explique dicha ecuación analizando cómo intervienen cada una de las magnitudes que determinan la fuerza creada por el campo magnético. [1 punto]}$

La fuerza que actúa sobre ella es la fuerza magnética de Lorentz:

$\vec F=q\left(\vec v\times\vec B\right)$

cuyo módulo vale $F=|q|\,v\,B\,\text{sen}\,\varphi$, siendo $\varphi$ el ángulo que forman la velocidad y el campo.

La carga $q$ interviene de dos maneras: su valor absoluto fija la intensidad de la fuerza, proporcionalmente; y su signo, el sentido, que se invierte al pasar de una carga positiva a una negativa con la misma velocidad.

La velocidad $\vec v$ es imprescindible: sobre una carga en reposo el campo magnético no ejerce ninguna fuerza. Además solo cuenta su componente perpendicular al campo, de modo que si la velocidad es paralela a $\vec B$ la fuerza es nula y la partícula sigue en línea recta.

El campo $\vec B$ fija la intensidad de la fuerza, proporcionalmente a su módulo, y junto con la velocidad determina su dirección: la fuerza es perpendicular al plano que forman los dos, según la regla de la mano derecha.

Obsérvese que la masa no aparece en la expresión: no interviene en la fuerza, aunque sí en la trayectoria que la partícula acaba describiendo.

Por último, al ser siempre perpendicular a la velocidad, la fuerza magnética no realiza trabajo: no cambia el módulo de la velocidad ni la energía cinética, solo curva la trayectoria.

$\textbf{b) Un protón y un electrón se mueven perpendicularmente a un campo magnético uniforme, con igual velocidad. ¿Qué tipo de trayectoria realiza cada uno de ellos? Determine la relación entre los radios que describe cada una de las partículas. [1,5 puntos]}$










Como la velocidad es perpendicular al campo, la fuerza magnética tiene módulo constante y es siempre perpendicular al movimiento: hace de fuerza centrípeta.

Las dos partículas describen, por tanto, trayectorias circulares recorridas con movimiento uniforme, en sentidos opuestos por tener cargas de signo contrario.





Igualando la fuerza magnética a la centrípeta se obtiene el radio:

$|q|\,v\,B=m\dfrac{v^2}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{|q|\,B}$

Como el protón y el electrón tienen cargas del mismo valor absoluto y se mueven con la misma velocidad en el mismo campo, el radio solo depende de la masa:

$\dfrac{R_p}{R_e}=\dfrac{m_p}{m_e}=1836$

El radio de la circunferencia que describe el protón es 1836 veces mayor que el del electrón. Dicho de otro modo, el electrón, mucho más ligero, se curva muchísimo más con el mismo campo. La figura es solo esquemática: a escala real, la circunferencia del electrón sería un punto al lado de la del protón.