Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2021

a) Explique el concepto de campo gravitatorio. [1 punto]

Un satélite artificial con una masa de 5000 kg está en órbita circular alrededor de la Tierra con una velocidad orbital de 7563 m/s. Calcule:

b) La altura de la órbita sobre la superficie terrestre y su periodo de revolución. [0,75 puntos]

c) La energía que tendría que ganar para salir del campo gravitatorio terrestre. [0,75 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_{\text{Tierra}} = 6{,}37 \cdot 10^{6}\ \text{m}$.

$\textbf{a) Explique el concepto de campo gravitatorio. [1 punto]}$

El campo gravitatorio es la perturbación que un cuerpo con masa produce en el espacio que lo rodea, de modo que cualquier otra masa colocada en él experimenta una fuerza atractiva. La introducción del campo evita tener que hablar de una acción a distancia instantánea: la masa modifica el espacio, y otra masa responde a esa modificación local.

Se define como la fuerza que actúa sobre la unidad de masa colocada en cada punto:

$\vec g=\dfrac{\vec F}{m}$

Es una magnitud vectorial y se mide en $\text{N/kg}$, que equivale a $\text{m/s}^2$: el campo gravitatorio en un punto coincide numéricamente con la aceleración que adquiere allí un cuerpo en caída libre, y de ahí que todos los cuerpos caigan igual.

Para una masa puntual $M$ a una distancia $r$:

$\vec g=-G\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$

Es un campo central, conservativo y siempre atractivo, y cuando lo crean varias masas se obtiene sumando vectorialmente los campos de cada una, por el principio de superposición.

$\textbf{b) La altura de la órbita sobre la superficie terrestre y su periodo de revolución. [0,75 puntos]}$










Al ser la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}$

$r=\dfrac{G\,M_T}{v^2}$

La masa del satélite no interviene.





$r=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{7563^2}=6{,}96\cdot10^{6}\ \text{m}$

Y restando el radio terrestre se obtiene la altura:

$h=r-R_T=6{,}96\cdot10^{6}-6{,}37\cdot10^{6}=5{,}9\cdot10^{5}\ \text{m}$

El periodo, al ser el movimiento circular uniforme:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot6{,}96\cdot10^{6}}{7563}=5{,}78\cdot10^{3}\ \text{s}$

El satélite orbita a unos $5{,}9\cdot10^{5}\ \text{m}$ de altura, unos 592 km, con un periodo de $5{,}78\cdot10^{3}\ \text{s}$, algo más de una hora y media.

$\textbf{c) La energía que tendría que ganar para salir del campo gravitatorio terrestre. [0,75 puntos]}$

Salir del campo gravitatorio significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica cero. La energía que hay que aportar es, por tanto, el valor absoluto de la energía mecánica que tiene en la órbita.

En una órbita circular la energía mecánica es la mitad de la potencial:

$E_m=\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

$E_m=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot5000}{2\cdot6{,}96\cdot10^{6}}=-1{,}43\cdot10^{11}\ \text{J}$

$\Delta E=0-E_m=1{,}43\cdot10^{11}\ \text{J}$

Habría que comunicarle $1{,}43\cdot10^{11}\ \text{J}$. A esa cantidad se le llama energía de enlace del satélite, y es lo que mide cuán ligado está al campo terrestre.