Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2021

a) Escriba y comente la ley de gravitación universal. [1 punto]

La Estación Espacial Internacional (ISS) realiza 15,49 revoluciones por día alrededor de la Tierra. Se considera que sigue una órbita aproximadamente circular.

b) ¿A qué altura por encima de la superficie terrestre se encuentra la estación espacial ISS? [0,75 puntos]

c) ¿A qué velocidad se desplaza? [0,75 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; radio de la Tierra, $R_{\text{Tierra}} = 6371\ \text{km}$.

$\textbf{a) Escriba y comente la ley de gravitación universal. [1 punto]}$

La ley de gravitación universal afirma que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa:

$\vec F=-G\dfrac{M\,m}{r^2}\,\vec u_r$

La dirección de la fuerza es la de la recta que une los dos cuerpos, y su sentido es siempre atractivo, lo que expresa el signo negativo delante del vector unitario $\vec u_r$, que va de la masa que crea el campo al punto donde se encuentra la otra.

La constante de gravitación universal vale $G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y es la misma en todo el universo. Su valor tan pequeño explica que la gravitación, siendo la más débil de las interacciones fundamentales, solo se aprecie cuando al menos una de las masas es astronómica; a cambio, es siempre atractiva y de alcance infinito, y por eso es la que gobierna la estructura del cosmos.

Es además una fuerza central y conservativa, de lo que se siguen la conservación del momento angular y la existencia de una energía potencial gravitatoria.

$\textbf{b) ¿A qué altura por encima de la superficie terrestre se encuentra la estación espacial ISS? [0,75 puntos]}$










Primero se obtiene el periodo a partir del número de vueltas por día:

$T=\dfrac{86\,400}{15{,}49}=5{,}578\cdot10^{3}\ \text{s}$

La única fuerza sobre la estación es la gravitatoria, que hace de centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\,\omega^2 r$





Con $\omega=2\pi/T$ se llega a la tercera ley de Kepler, de donde se despeja el radio de la órbita:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\left(5{,}578\cdot10^{3}\right)^2}{4\pi^2}}=6{,}80\cdot10^{6}\ \text{m}$

La altura se obtiene restando el radio terrestre:

$h=r-R_T=6{,}80\cdot10^{6}-6{,}371\cdot10^{6}=4{,}2\cdot10^{5}\ \text{m}$

La estación espacial se encuentra a unos $4{,}2\cdot10^{5}\ \text{m}$ de altura, es decir, unos 425 km sobre la superficie. Es una órbita baja, y por eso la ISS necesita reimpulsos periódicos para no frenarse con los restos de atmósfera.

$\textbf{c) ¿A qué velocidad se desplaza? [0,75 puntos]}$

Al ser el movimiento circular uniforme, la velocidad es la longitud de la circunferencia dividida entre el periodo:

$v=\dfrac{2\pi r}{T}=\dfrac{2\pi\cdot6{,}80\cdot10^{6}}{5{,}578\cdot10^{3}}$

$v=7{,}66\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La ISS se desplaza a $7{,}66\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, unos 27 500 km/h. Se llega al mismo valor con $v=\sqrt{G M_T/r}$.