Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Aragón · 2021

Considere una cuerda de una guitarra de una longitud $L = 1{,}0\ \text{m}$. Cuando se excita transversalmente con una frecuencia $f = 120\ \text{Hz}$ se forma una onda estacionaria con dos vientres.

a) Calcule la longitud de onda y la velocidad de propagación de ondas en dicha cuerda. [1,25 puntos]

b) ¿Para qué frecuencia inferior a la dada se formará onda estacionaria en la cuerda? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la longitud de onda y la velocidad de propagación de ondas en dicha cuerda. [1,25 puntos]}$










La cuerda está sujeta por sus dos extremos, que son forzosamente nodos, y entre ellos se forma una onda estacionaria.

Que aparezcan dos vientres significa que se ha excitado el segundo armónico: hay un nodo en el centro, además de los dos de los extremos, y en la cuerda cabe una longitud de onda entera.





De forma general, en el armónico $n$ caben $n$ semilongitudes de onda:

$L=n\dfrac{\lambda_n}{2}\Rightarrow \lambda_n=\dfrac{2L}{n}$

Con $n=2$:

$\lambda_2=\dfrac{2\cdot1{,}0}{2}=1{,}0\ \text{m}$

Y la velocidad de propagación de las ondas viajeras que forman la estacionaria:

$v=\lambda_2\,f_2=1{,}0\cdot120=1{,}2\cdot10^{2}\ \text{m/s}$

La longitud de onda es de $1{,}0\ \text{m}$ y las ondas se propagan por la cuerda a $120\ \text{m/s}$. Esta velocidad depende solo de la tensión y de la densidad lineal de la cuerda, no del armónico que se excite.

$\textbf{b) ¿Para qué frecuencia inferior a la dada se formará onda estacionaria en la cuerda? [1,25 puntos]}$










Las frecuencias que producen onda estacionaria son las de los armónicos, múltiplos enteros de la fundamental:

$f_n=\dfrac{n\,v}{2L}$

La única inferior a la del segundo armónico es la del primero, que solo tiene un vientre.





$f_1=\dfrac{v}{2L}=\dfrac{120}{2\cdot1{,}0}=60\ \text{Hz}$

La frecuencia inmediatamente inferior para la que se forma onda estacionaria es $60\ \text{Hz}$, la mitad de la dada, que es justamente la frecuencia fundamental de la cuerda. Por debajo de ella no hay ninguna otra: no existe onda estacionaria con menos de un vientre.