Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2021

Una masa de 3 kg está unida a un muelle horizontal cuya constante recuperadora es $K = 12\ \text{N}/\text{m}$. El muelle se estira 4 cm desde la posición de equilibrio ($x = 0$) y se deja en libertad. Determine:

a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, $x = x(t)$, considerando $t = 0$ cuando atraviesa el punto en el que la velocidad es máxima. [0,5 puntos]

b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio. [1 punto]

c) La energía mecánica del sistema oscilante. [1 punto]

$\textbf{a) La expresión de la posición de la masa en función del tiempo, } \boldsymbol{x=x(t)}\textbf{, considerando } \boldsymbol{t=0}\textbf{ cuando atraviesa el punto en el que la velocidad es máxima. [0,5 puntos]}$

La masa unida al muelle describe un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular depende solo de la constante recuperadora y de la masa:

$\omega=\sqrt{\dfrac{K}{m}}=\sqrt{\dfrac{12}{3}}=2\ \text{rad/s}$

La amplitud es la separación máxima respecto del equilibrio, es decir, lo que se ha estirado el muelle antes de soltarlo:

$A=4\ \text{cm}=0{,}04\ \text{m}$

La velocidad es máxima al pasar por la posición de equilibrio, así que en $t=0$ la elongación es nula. La función que cumple esa condición es un seno con fase inicial nula:

$x(t)=A\,\text{sen}\,(\omega t)=0{,}04\,\text{sen}\,(2\,t)\ \text{m}$



$\textbf{b) Los módulos de la velocidad y de la aceleración de la masa en un punto situado a 2 cm de la posición de equilibrio. [1 punto]}$

La velocidad de un movimiento armónico simple en función de la elongación es:

$v=\omega\sqrt{A^2-x^2}$

$v=2\sqrt{0{,}04^2-0{,}02^2}=2\sqrt{1{,}2\cdot10^{-3}}=6{,}93\cdot10^{-2}\ \text{m/s}$

La aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario, que es la propiedad que define al movimiento armónico simple:

$a=-\omega^2 x\Rightarrow |a|=2^2\cdot0{,}02=8{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m/s}^2$

A 2 cm del equilibrio la masa se mueve a $6{,}93\cdot10^{-2}\ \text{m/s}$ con una aceleración de módulo $8{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m/s}^2$, dirigida hacia la posición de equilibrio.

$\textbf{c) La energía mecánica del sistema oscilante. [1 punto]}$

En un movimiento armónico simple la energía mecánica es constante, y coincide con la energía potencial elástica en el punto de elongación máxima, donde la velocidad es nula:

$E_m=\dfrac{1}{2}K\,A^2=\dfrac{1}{2}\cdot12\cdot0{,}04^2$

$E_m=9{,}6\cdot10^{-3}\ \text{J}$

La energía mecánica del sistema es de $9{,}6\cdot10^{-3}\ \text{J}$. Puede comprobarse con los datos del apartado anterior: la suma de la energía cinética y la potencial en $x=0{,}02\ \text{m}$ da ese mismo valor.