Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Aragón · 2022

a) Explique la dualidad onda-corpúsculo y la hipótesis de De Broglie. [1 punto]

En una zona del espacio sometida a un campo electrostático constante se coloca un protón que parte del reposo y es acelerado por una diferencia de potencial de 10 V. Calcule:

b) La energía cinética que adquiere el protón expresada en julios y en eV, y su velocidad en m/s. [0,75 puntos]

c) La longitud de onda de De Broglie asociada al protón moviéndose con la velocidad anterior. [0,75 puntos]

Datos: carga del protón, $q_p = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$; masa del protón, $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$; constante de Planck, $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J}\ \text{s}$.

$\textbf{a) Explique la dualidad onda-corpúsculo y la hipótesis de De Broglie. [1 punto]}$

La dualidad onda-corpúsculo es el hecho de que la materia y la radiación presentan a la vez propiedades ondulatorias y corpusculares, y que el comportamiento que se observa depende del experimento realizado, no de la naturaleza del objeto.

La luz fue el primer caso conocido: se propaga como una onda —difracta e interfiere— pero intercambia energía en cuantos, los fotones, que es lo que explica el efecto fotoeléctrico. Un fotón lleva asociada una cantidad de movimiento:

$p=\dfrac{E}{c}=\dfrac{h}{\lambda}$

La hipótesis de De Broglie, formulada en 1924, extiende esa dualidad a la materia: toda partícula con cantidad de movimiento $p$ lleva asociada una onda de longitud de onda

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}$

La hipótesis se confirmó experimentalmente al observar la difracción de un haz de electrones en un cristal, y es la base del microscopio electrónico. En los objetos macroscópicos la longitud de onda asociada resulta tan pequeña que ningún experimento puede detectarla, y por eso la dualidad solo se manifiesta en el mundo subatómico.

$\textbf{b) La energía cinética que adquiere el protón expresada en julios y en eV, y su velocidad en m/s. [0,75 puntos]}$










El campo electrostático es conservativo y el protón parte del reposo, así que todo el trabajo que el campo realiza sobre él se convierte en energía cinética:

$E_c=W=q_p\,\Delta V$





$E_c=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot10=1{,}6\cdot10^{-18}\ \text{J}$

En electronvoltios, dividiendo por la carga elemental:

$E_c=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-18}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=10\ \text{eV}$

Numéricamente coincide con la diferencia de potencial en voltios, y no es casualidad: así está definido el electronvoltio.

De la expresión clásica de la energía cinética se despeja la velocidad:

$E_c=\dfrac{1}{2}m_p\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m_p}}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-18}}{1{,}67\cdot10^{-27}}}=4{,}38\cdot10^{4}\ \text{m/s}$

El protón adquiere $1{,}6\cdot10^{-18}\ \text{J}$, es decir, $10\ \text{eV}$, y sale con una velocidad de $4{,}38\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Es una diezmilésima de la velocidad de la luz, así que el tratamiento clásico es más que suficiente.

$\textbf{c) La longitud de onda de De Broglie asociada al protón moviéndose con la velocidad anterior. [0,75 puntos]}$

Se aplica directamente la hipótesis de De Broglie:

$\lambda=\dfrac{h}{m_p\,v}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot4{,}38\cdot10^{4}}$

$\lambda=9{,}07\cdot10^{-12}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada al protón es de $9{,}07\cdot10^{-12}\ \text{m}$, unos nueve picómetros: diez veces menor que el diámetro de un átomo, pero del orden de la longitud de onda de los rayos X, así que sí es una escala en la que los efectos ondulatorios pueden observarse.