Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Aragón · 2022

a) Escriba la expresión de la fuerza de Lorentz que actúa sobre una partícula de carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec{v}$ en una región donde hay un campo magnético $\vec{B}$. Explique las características de esta fuerza. [1 punto]

Una partícula de carga $q = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$ se mueve en un campo magnético uniforme de valor $B = 0{,}2\ \text{T}$, describiendo una circunferencia con periodo $3{,}2 \cdot 10^{-7}\ \text{s}$ y velocidad de $3{,}8 \cdot 10^{6}\ \text{m}/\text{s}$ en un plano perpendicular a la dirección del campo magnético. Calcule:

b) El radio de la circunferencia descrita. [0,75 puntos]

c) La masa de la partícula. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Escriba la expresión de la fuerza de Lorentz que actúa sobre una partícula de carga } \boldsymbol{q}\textbf{ que se mueve con velocidad } \boldsymbol{\vec v}\textbf{ en una región donde hay un campo magnético } \boldsymbol{\vec B}\textbf{. Explique las características de esta fuerza. [1 punto]}$

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento es:

$\vec F=q\left(\vec v\times\vec B\right)$

y su módulo vale $F=|q|\,v\,B\,\text{sen}\,\varphi$, siendo $\varphi$ el ángulo que forman la velocidad y el campo.

Sus características son cuatro, y todas se siguen de que sea un producto vectorial:

Solo actúa sobre cargas en movimiento, y solo si la velocidad no es paralela al campo. Si $\vec v$ y $\vec B$ son paralelos, el producto vectorial se anula y la fuerza es nula.

Su dirección es perpendicular al plano que forman la velocidad y el campo, y su sentido lo da la regla de la mano derecha, invertida si la carga es negativa.

Es máxima cuando la velocidad es perpendicular al campo, y entonces vale $|q|\,v\,B$.

No realiza trabajo, porque es siempre perpendicular al desplazamiento. Por tanto no cambia el módulo de la velocidad ni la energía cinética de la partícula: solo curva su trayectoria.

$\textbf{b) El radio de la circunferencia descrita. [0,75 puntos]}$










Al ser la velocidad perpendicular al campo, la fuerza magnética es constante en módulo y siempre perpendicular al movimiento: hace de centrípeta y la trayectoria es una circunferencia recorrida con movimiento uniforme.

En un movimiento circular uniforme, la longitud de la circunferencia se recorre en un periodo:





$v=\dfrac{2\pi R}{T}\Rightarrow R=\dfrac{v\,T}{2\pi}$

$R=\dfrac{3{,}8\cdot10^{6}\cdot3{,}2\cdot10^{-7}}{2\pi}=0{,}194\ \text{m}$

El radio de la circunferencia es de $0{,}194\ \text{m}$.

$\textbf{c) La masa de la partícula. [0,75 puntos]}$

Se iguala la fuerza magnética a la fuerza centrípeta que exige el movimiento circular:

$|q|\,v\,B=m\dfrac{v^2}{R}\Rightarrow m=\dfrac{|q|\,B\,R}{v}$

Sustituyendo el radio obtenido en el apartado anterior, la expresión queda aún más simple, porque la velocidad se cancela:

$m=\dfrac{|q|\,B\,T}{2\pi}=\dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}2\cdot3{,}2\cdot10^{-7}}{2\pi}$

$m=1{,}63\cdot10^{-27}\ \text{kg}$

La masa de la partícula es de $1{,}63\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, muy próxima a la del protón. El resultado deja ver algo importante: el periodo del movimiento no depende de la velocidad, solo del cociente entre la masa y la carga, y en eso se basa el funcionamiento del ciclotrón.