Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2022

a) Enuncie y explique brevemente las leyes de Kepler. [1 punto]

Fobos es un satélite de Marte que gira en una órbita circular de 9380 km de radio respecto al centro del planeta, y un periodo de revolución de 7,65 horas. Otro satélite de Marte, Deimos, gira en una órbita de 23460 km de radio. Determine:

b) La masa de Marte. [0,75 puntos]

c) El periodo de revolución del satélite Deimos. [0,75 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$; masa de Fobos, $M_F = 1{,}1 \cdot 10^{16}\ \text{kg}$; masa de Deimos, $M_D = 2{,}4 \cdot 10^{15}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Enuncie y explique brevemente las leyes de Kepler. [1 punto]}$

Primera ley. Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, y el Sol ocupa uno de los focos de la elipse. La órbita circular es solo el caso particular de excentricidad nula, y es la aproximación que se usa habitualmente.

Segunda ley. El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Como consecuencia, el planeta se mueve más deprisa cuanto más cerca está del Sol. Esta ley es una manifestación de la conservación del momento angular, que se cumple porque la fuerza gravitatoria es central.

Tercera ley. Para todos los planetas, el cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita, y la constante de proporcionalidad depende únicamente de la masa del astro central:

$\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}$

Las tres leyes son empíricas —Kepler las obtuvo de las observaciones de Tycho Brahe— y se deducen de la ley de gravitación universal, lo que constituyó una de las grandes confirmaciones de la mecánica newtoniana. Son válidas para cualquier sistema de satélites, no solo para el sistema solar.

$\textbf{b) La masa de Marte. [0,75 puntos]}$










Fobos describe una órbita circular, luego la fuerza gravitatoria de Marte es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton, y con la velocidad angular en función del periodo:

$G\dfrac{M\,M_F}{r^2}=M_F\,\omega^2 r$

$M=\dfrac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$





Nótese que la masa de Fobos se simplifica y no interviene: el dato del enunciado no hace falta. Se sustituyen los valores en unidades del Sistema Internacional:

$r=9380\ \text{km}=9{,}38\cdot10^{6}\ \text{m}$

$T=7{,}65\ \text{h}\cdot\dfrac{3600\ \text{s}}{1\ \text{h}}=2{,}754\cdot10^{4}\ \text{s}$

$M=\dfrac{4\pi^2\left(9{,}38\cdot10^{6}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\left(2{,}754\cdot10^{4}\right)^2}=6{,}44\cdot10^{23}\ \text{kg}$

La masa de Marte es de $6{,}44\cdot10^{23}\ \text{kg}$, aproximadamente la décima parte de la masa de la Tierra.

$\textbf{c) El periodo de revolución del satélite Deimos. [0,75 puntos]}$

Se aplica la tercera ley de Kepler a los dos satélites de Marte, que comparten la misma constante:

$\dfrac{T_D^2}{r_D^3}=\dfrac{T_F^2}{r_F^3}\Rightarrow T_D=T_F\left(\dfrac{r_D}{r_F}\right)^{3/2}$

$T_D=2{,}754\cdot10^{4}\left(\dfrac{23\,460}{9380}\right)^{3/2}=1{,}09\cdot10^{5}\ \text{s}$

El periodo de revolución de Deimos es de $1{,}09\cdot10^{5}\ \text{s}$, es decir, unas 30,3 horas. Como en la fórmula solo interviene el cociente de los radios, pueden dejarse en kilómetros; y de nuevo la masa del satélite no aparece.