Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2022

a) Enuncie y explique la ley de gravitación universal. [1 punto]

La Luna es aproximadamente esférica, con radio $R = 1{,}74 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ y masa $M = 7{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$.

b) Calcule la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna. [0,75 puntos]

c) Si se deja caer una piedra desde una altura de 1 m sobre la superficie lunar, ¿cuál será su velocidad al chocar con la superficie? [0,75 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Enuncie y explique la ley de gravitación universal. [1 punto]}$

La ley de gravitación universal, enunciada por Newton, afirma que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa:

$\vec F=-G\dfrac{M\,m}{r^2}\,\vec u_r$

La fuerza tiene la dirección de la recta que une los dos cuerpos y su sentido es siempre atractivo, lo que expresa el signo negativo delante del vector unitario $\vec u_r$, que va de la masa que crea el campo al punto donde se encuentra la otra.

La constante $G$ vale $6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y es la misma en todo el universo. Su valor tan pequeño explica que la atracción gravitatoria solo sea apreciable cuando al menos una de las dos masas es astronómica.

La ley describe una fuerza central y conservativa, y de ahí se siguen dos consecuencias que se usan constantemente: la conservación del momento angular del cuerpo que orbita y la existencia de una energía potencial gravitatoria.

$\textbf{b) Calcule la aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna. [0,75 puntos]}$










Sobre un cuerpo de masa $m$ situado en la superficie actúa la fuerza gravitatoria, y por la segunda ley de Newton esa fuerza es su masa por la aceleración con que cae:

$G\dfrac{M\,m}{R^2}=m\,g\Rightarrow g=G\dfrac{M}{R^2}$





La aceleración no depende de la masa del cuerpo que cae, sino solo de la masa y el radio de la Luna:

$g=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{\left(1{,}74\cdot10^{6}\right)^2}=1{,}62\ \text{m/s}^2$

La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna es de $1{,}62\ \text{m/s}^2$, seis veces menor que la terrestre. Es lo que hacía que los astronautas del programa Apolo se desplazaran a saltos.

$\textbf{c) Si se deja caer una piedra desde una altura de 1 m sobre la superficie lunar, ¿cuál será su velocidad al chocar con la superficie? [0,75 puntos]}$

A una altura de 1 m sobre una esfera de 1740 km de radio el campo puede tomarse constante, así que el movimiento es de caída libre con aceleración $g$. Como se deja caer, la velocidad inicial es nula:

$v^2-v_0^2=2\,g\,h\Rightarrow v=\sqrt{2\,g\,h}$

$v=\sqrt{2\cdot1{,}62\cdot1}=1{,}80\ \text{m/s}$

La piedra llega al suelo a $1{,}80\ \text{m/s}$. En la Tierra, desde la misma altura, llegaría a 4,43 m/s: dos veces y media más deprisa, porque la velocidad va con la raíz cuadrada de la gravedad. Se llega al mismo resultado por conservación de la energía mecánica, igualando la potencial perdida a la cinética ganada.