Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Aragón · 2022

a) Se desea construir una flauta de forma que cuando estén tapados todos los agujeros emita como armónico fundamental la nota musical Do de 522 Hz. Si la flauta se comporta como un tubo sonoro de extremos abiertos, determine la longitud de la misma y represente gráficamente dentro de la flauta la onda que se genera. Tome como velocidad de propagación del sonido en el aire $v = 340\ \text{m}/\text{s}$. [1,25 puntos]

b) Para dicha frecuencia, la sonoridad de la flauta es de 20 dB a una distancia $d = 15\ \text{m}$. Suponiendo que la flauta se comporta como un foco emisor puntual, determine la máxima distancia a la que se escuchará dicho sonido. [1,25 puntos]

Dato: intensidad umbral del oído humano, $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}/\text{m}^2$.

$\textbf{a) Se desea construir una flauta de forma que cuando estén tapados todos los agujeros emita como armónico fundamental la nota musical Do de 522 Hz. Si la flauta se comporta como un tubo sonoro de extremos abiertos, determine la longitud de la misma y represente gráficamente dentro de la flauta la onda que se genera. [1,25 puntos]}$










En un tubo abierto por sus dos extremos, ambos son vientres de desplazamiento, porque el aire puede oscilar libremente en ellos.

En el armónico fundamental hay un solo nodo, en el centro del tubo, y por tanto en la longitud del tubo cabe media longitud de onda:

$L=\dfrac{\lambda}{2}$





Con la relación entre longitud de onda, velocidad y frecuencia:

$\lambda=\dfrac{v}{f}\Rightarrow L=\dfrac{v}{2f}$

$L=\dfrac{340}{2\cdot522}=0{,}326\ \text{m}$

La flauta debe medir $0{,}326\ \text{m}$, unos 33 cm. La figura muestra la onda estacionaria que se genera: la envolvente, con los dos vientres en los extremos y el nodo en el centro.

$\textbf{b) Para dicha frecuencia, la sonoridad de la flauta es de 20 dB a una distancia } \boldsymbol{d=15\ \text{m}}\textbf{. Suponiendo que la flauta se comporta como un foco emisor puntual, determine la máxima distancia a la que se escuchará dicho sonido. [1,25 puntos]}$










Se pasa primero el dato de sonoridad a intensidad:

$20=10\log\dfrac{I}{I_0}\Rightarrow I=I_0\,10^{2}$

$I=10^{-10}\ \text{W/m}^2$

Al ser el foco puntual, la potencia se reparte por la superficie de los frentes de onda esféricos.





$P=I\cdot4\pi d^2=10^{-10}\cdot4\pi\cdot15^2=2{,}83\cdot10^{-7}\ \text{W}$

El sonido deja de oírse cuando su intensidad cae por debajo del umbral de audición, $I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2$. Esa condición fija la distancia máxima:

$I_0=\dfrac{P}{4\pi r^2}\Rightarrow r=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I_0}}$

$r=\sqrt{\dfrac{2{,}83\cdot10^{-7}}{4\pi\cdot10^{-12}}}=150\ \text{m}$

La flauta se escuchará hasta $150\ \text{m}$ de distancia. El resultado se podía anticipar sin calcular la potencia: bajar de $10^{-10}$ a $10^{-12}\ \text{W/m}^2$ es dividir la intensidad por cien, y como la intensidad va con el inverso del cuadrado de la distancia, basta multiplicar los 15 m por diez.