Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2022

Una partícula de masa $m = 5\ \text{g}$ oscila armónicamente a lo largo del eje OX en la forma $x(t) = A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$ con una amplitud de 10 cm y un periodo de oscilación $T = 0{,}4\ \text{s}$.

a) Determine la velocidad de la partícula en función del tiempo y represéntela gráficamente. [1 punto]

b) Calcule las energías cinética y potencial en el punto $x = 5\ \text{cm}$. Calcule la energía mecánica de dicha partícula. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Determine la velocidad de la partícula en función del tiempo y represéntela gráficamente. [1 punto]}$

La velocidad es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v(t)=\dfrac{dx}{dt}=A\,\omega\cos(\omega t)$

La frecuencia angular sale del periodo:

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0{,}4}=5\pi=15{,}7\ \text{rad/s}$

Y con la amplitud en metros:

$A=10\ \text{cm}=0{,}10\ \text{m}$

$v(t)=0{,}10\cdot15{,}7\cos(15{,}7\,t)=1{,}57\cos(5\pi t)\ \text{m/s}$



La gráfica es una cosinusoide de amplitud $A\,\omega=1{,}57\ \text{m/s}$ y del mismo periodo que la elongación, $0{,}4\ \text{s}$. Está adelantada un cuarto de periodo respecto de la posición: la velocidad es máxima en los instantes en que la partícula pasa por el equilibrio, y nula cuando está en los extremos.

$\textbf{b) Calcule las energías cinética y potencial en el punto } \boldsymbol{x=5\ \text{cm}}\textbf{. Calcule la energía mecánica de dicha partícula. [1,5 puntos]}$

Primero se necesita la constante recuperadora, que se obtiene de la frecuencia angular:

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\Rightarrow k=m\,\omega^2=5\cdot10^{-3}\left(5\pi\right)^2=1{,}23\ \text{N/m}$

En un movimiento armónico simple la energía mecánica es constante y vale:

$E_m=\dfrac{1}{2}k\,A^2=\dfrac{1}{2}\cdot1{,}23\cdot0{,}10^2=6{,}17\cdot10^{-3}\ \text{J}$

La energía potencial elástica depende de la elongación:

$E_p=\dfrac{1}{2}k\,x^2=\dfrac{1}{2}\cdot1{,}23\cdot0{,}05^2=1{,}54\cdot10^{-3}\ \text{J}$

Y la cinética es la diferencia entre ambas:

$E_c=E_m-E_p=6{,}17\cdot10^{-3}-1{,}54\cdot10^{-3}=4{,}63\cdot10^{-3}\ \text{J}$

En el punto $x=5\ \text{cm}$ la energía cinética vale $4{,}63\cdot10^{-3}\ \text{J}$ y la potencial $1{,}54\cdot10^{-3}\ \text{J}$, y su suma es la energía mecánica, $6{,}17\cdot10^{-3}\ \text{J}$. Nótese que a la mitad de la amplitud la energía potencial es solo la cuarta parte del total, porque depende del cuadrado de la elongación.