Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Aragón · 2022

a) Defina las siguientes magnitudes asociadas a los procesos de desintegración radiactiva: actividad radiactiva ($A$), periodo de semidesintegración ($T$) y vida media ($\tau$). [1 punto]

b) El tritio ${}^{3}\text{H}$ se utiliza para la datación de vinos. Tiene un periodo de semidesintegración de 12,33 años. Calcule cuánto tiempo ha estado envasado un vino si su actividad actual es un 10 % de la inicial. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Defina las siguientes magnitudes asociadas a los procesos de desintegración radiactiva: actividad radiactiva } \boldsymbol{(A)}\textbf{, periodo de semidesintegración } \boldsymbol{(T)}\textbf{ y vida media } \boldsymbol{(\tau)}\textbf{. [1 punto]}$










La actividad radiactiva de una muestra es el número de desintegraciones que se producen en ella por unidad de tiempo:

$A=-\dfrac{dN}{dt}=\lambda\,N$

Se mide en becquerelios, y un becquerelio es una desintegración por segundo.





El periodo de semidesintegración es el tiempo que debe transcurrir para que el número de núcleos sin desintegrar, y con él la actividad, se reduzca a la mitad. Se obtiene imponiendo esa condición en la ley de desintegración:

$\dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T}\Rightarrow T=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$

La vida media es el tiempo que por término medio permanece un núcleo sin desintegrarse, y resulta ser la inversa de la constante de desintegración:

$\tau=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{T}{\ln 2}$

Las tres magnitudes se miden, respectivamente, en becquerelios las primeras y en segundos las otras dos, y las tres quedan determinadas por la constante de desintegración $\lambda$, que es característica de cada isótopo. Como $\ln 2<1$, la vida media es siempre mayor que el periodo de semidesintegración.

$\textbf{b) El tritio se utiliza para la datación de vinos. Tiene un periodo de semidesintegración de 12,33 años. Calcule cuánto tiempo ha estado envasado un vino si su actividad actual es un 10 por ciento de la inicial. [1,5 puntos]}$

Primero se obtiene la constante de desintegración a partir del periodo:

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T}=\dfrac{\ln 2}{12{,}33}=5{,}62\cdot10^{-2}\ \text{años}^{-1}$

La actividad es proporcional al número de núcleos sin desintegrar, así que sigue la misma ley exponencial:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Se impone la condición del enunciado y se despeja el tiempo tomando logaritmos:

$0{,}10\,A_0=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln 0{,}10=-\lambda\,t$

$t=-\dfrac{\ln 0{,}10}{5{,}62\cdot10^{-2}}=41{,}0\ \text{años}$

El vino lleva envasado unos $41{,}0\ \text{años}$. El resultado es coherente con la gráfica: 41 años son algo más de tres periodos de semidesintegración, y en tres periodos la actividad ya se ha reducido a la octava parte.