Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Aragón · 2022

a) ¿Qué potencial electrostático crea una carga puntual $q$ en cualquier punto de su entorno? Explique el significado físico del potencial. [1 punto]

En el punto O, origen de un sistema de coordenadas cartesianas, existe una carga de $-0{,}05\ \text{nC}$, y en el punto B de coordenadas $(5\ \text{cm},\ 0\ \text{cm})$, una de $0{,}09\ \text{nC}$.

b) Determine el punto P situado en el segmento entre O y B en el que el potencial eléctrico se anula. Calcule el potencial eléctrico en el punto Q de coordenadas $(4\ \text{cm},\ 0\ \text{cm})$. [1 punto]

c) Se deja un electrón en reposo en el punto P. Calcule con qué velocidad llegará al punto Q. [0,5 puntos]

Datos: constante de Coulomb, $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{C}^{-2}$; masa del electrón, $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; carga del electrón, $q_e = -1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $1\ \text{nC} = 10^{-9}\ \text{C}$.

$\textbf{a) ¿Qué potencial electrostático crea una carga puntual } \boldsymbol{q}\textbf{ en cualquier punto de su entorno? Explique el significado físico del potencial. [1 punto]}$

El potencial electrostático creado por una carga puntual $q$ en un punto situado a una distancia $r$ de ella es:

$V=K\dfrac{q}{r}$

El significado físico es el siguiente: el potencial en un punto es el trabajo que hay que realizar contra el campo para traer la unidad de carga positiva desde el infinito hasta ese punto, o lo que es lo mismo, la energía potencial que adquiere allí la unidad de carga positiva.

Es una magnitud escalar y se mide en voltios, que equivalen a julios por culombio. Su signo es el de la carga que lo crea, y como es escalar, el potencial de un sistema de cargas se obtiene sumando algebraicamente los de cada una, sin descomponer en componentes: esta es la gran ventaja de trabajar con potenciales en vez de con campos.

$\textbf{b) Determine el punto P situado en el segmento entre O y B en el que el potencial eléctrico se anula. Calcule el potencial eléctrico en el punto Q de coordenadas } \boldsymbol{(4\ \text{cm},\ 0\ \text{cm})}\textbf{. [1 punto]}$










Sea $x$ la distancia de $P$ al origen. Su distancia a $B$ es entonces $0{,}05-x$, y por el principio de superposición:

$V_P=K\dfrac{q_O}{x}+K\dfrac{q_B}{0{,}05-x}=0$





Se simplifica la constante y se sustituyen las cargas:

$\dfrac{-0{,}05\cdot10^{-9}}{x}+\dfrac{0{,}09\cdot10^{-9}}{0{,}05-x}=0$

$0{,}09\,x=0{,}05\,(0{,}05-x)\Rightarrow 0{,}14\,x=2{,}5\cdot10^{-3}$

$x=1{,}79\cdot10^{-2}\ \text{m}$

El potencial se anula en el punto $P(1{,}79\ \text{cm},\ 0)$, más cerca de la carga pequeña, como cabía esperar.

Para el punto $Q$, las distancias son 4 cm a la carga de $O$ y 1 cm a la de $B$:

$V_Q=9\cdot10^9\left(\dfrac{-0{,}05\cdot10^{-9}}{0{,}04}+\dfrac{0{,}09\cdot10^{-9}}{0{,}01}\right)$

$V_Q=9\cdot10^9\left(-1{,}25\cdot10^{-9}+9{,}0\cdot10^{-9}\right)=69{,}8\ \text{V}$

El potencial en $Q$ vale $69{,}8\ \text{V}$.

$\textbf{c) Se deja un electrón en reposo en el punto P. Calcule con qué velocidad llegará al punto Q. [0,5 puntos]}$

Sobre el electrón solo actúa la fuerza electrostática, que es conservativa, así que la energía mecánica se conserva:

$\Delta E_c+\Delta E_p=0\Rightarrow E_c=-q_e\left(V_Q-V_P\right)=q_e\left(V_P-V_Q\right)$

$E_c=-1{,}6\cdot10^{-19}\left(0-69{,}8\right)=1{,}12\cdot10^{-17}\ \text{J}$

La energía cinética sale positiva, lo que confirma que el movimiento se produce espontáneamente: el electrón, por ser negativo, se mueve hacia los potenciales crecientes.

$\dfrac{1}{2}m_e\,v^2=1{,}12\cdot10^{-17}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}12\cdot10^{-17}}{9{,}11\cdot10^{-31}}}$

$v=4{,}95\cdot10^{6}\ \text{m/s}$

El electrón llega a $Q$ con una velocidad de $4{,}95\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, todavía muy por debajo de la de la luz, así que el tratamiento clásico es válido.