Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2022

a) Enuncie y explique la ley de gravitación universal. [1 punto]

Una sonda espacial de 300 kg de masa se encuentra en órbita circular alrededor de la Luna, a 150 km de su superficie.

b) Calcule la energía mecánica y la velocidad orbital de la sonda, así como la velocidad de escape de la atracción lunar desde esa posición. [1,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$; radio de la Luna, $R_L = 1{,}74 \cdot 10^{6}\ \text{m}$; masa de la Luna, $M_L = 7{,}35 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Enuncie y explique la ley de gravitación universal. [1 punto]}$

La ley de gravitación universal, enunciada por Newton, afirma que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa:

$\vec F=-G\dfrac{M\,m}{r^2}\,\vec u_r$

La dirección de la fuerza es la de la recta que une los dos cuerpos y su sentido es siempre atractivo, lo que expresa el signo negativo junto al vector unitario $\vec u_r$, que va de la masa que crea el campo al punto donde está la otra.

La constante de gravitación universal $G$ vale $6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ y es la misma en todo el universo, de ahí el nombre de la ley. Su valor, tan pequeño, explica que la gravitación solo sea apreciable cuando al menos una de las dos masas es astronómica.

Es además una fuerza central y conservativa, lo que trae dos consecuencias que se usan continuamente: el momento angular del cuerpo que orbita se conserva —y de ahí la segunda ley de Kepler— y puede definirse una energía potencial gravitatoria.

$\textbf{b) Calcule la energía mecánica y la velocidad orbital de la sonda, así como la velocidad de escape de la atracción lunar desde esa posición. [1,5 puntos]}$










Todo depende de la distancia de la sonda al centro de la Luna:

$r=R_L+h=1{,}74\cdot10^{6}+1{,}5\cdot10^{5}$

$r=1{,}89\cdot10^{6}\ \text{m}$





Al ser la órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y de ahí sale la velocidad orbital:

$G\dfrac{M_L\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_L}{r}}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}}{1{,}89\cdot10^{6}}}=1{,}61\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial, y con esa velocidad resulta la mitad de la potencial:

$E_m=\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{M_L\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_L\,m}{2r}$

$E_m=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}35\cdot10^{22}\cdot300}{2\cdot1{,}89\cdot10^{6}}=-3{,}89\cdot10^{8}\ \text{J}$

Para escapar desde esa posición hay que llevar la energía mecánica a cero, porque en el infinito tanto la cinética como la potencial se anulan:

$\dfrac{1}{2}mv_e^2-G\dfrac{M_L\,m}{r}=0\Rightarrow v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M_L}{r}}$

$v_e=\sqrt{2}\;v=\sqrt{2}\cdot1{,}61\cdot10^{3}=2{,}28\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La sonda orbita a $1{,}61\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ con una energía mecánica de $-3{,}89\cdot10^{8}\ \text{J}$, y necesitaría $2{,}28\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ para escapar. La velocidad de escape es siempre $\sqrt2$ veces la orbital a la misma distancia, sea cual sea el astro.