Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2022

Galileo observó por primera vez las lunas de Júpiter en 1610. Encontró que Ío, el satélite más cercano a Júpiter que pudo observar en su época, poseía un periodo orbital de 1,8 días y el radio de su órbita era, aproximadamente, 3 veces el diámetro de Júpiter. Asimismo, encontró que el periodo orbital de Calisto (la cuarta luna más alejada de Júpiter) era de 16,7 días. Con esos datos, y suponiendo órbitas circulares, calcule:

a) La masa de Júpiter. [1 punto]

b) El radio de la órbita de Calisto. [1 punto]

c) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter. [0,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2\ \text{kg}^{-2}$; radio de Júpiter, $R_J = 7{,}15 \cdot 10^{7}\ \text{m}$.

$\textbf{a) La masa de Júpiter. [1 punto]}$










La única fuerza sobre Ío es la atracción gravitatoria de Júpiter, y al ser la órbita circular es la que hace de centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_J\,m}{r^2}=m\,\omega^2 r\quad\text{con}\quad \omega=\dfrac{2\pi}{T}$

$M_J=\dfrac{4\pi^2r^3}{G\,T^2}$





El radio de la órbita de Ío es tres veces el diámetro de Júpiter, es decir, seis veces su radio:

$r_I=3\cdot2R_J=6\cdot7{,}15\cdot10^{7}=4{,}29\cdot10^{8}\ \text{m}$

Y su periodo, en segundos:

$T_I=1{,}8\ \text{días}\cdot\dfrac{86\,400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=1{,}56\cdot10^{5}\ \text{s}$

$M_J=\dfrac{4\pi^2\left(4{,}29\cdot10^{8}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\left(1{,}56\cdot10^{5}\right)^2}=1{,}93\cdot10^{27}\ \text{kg}$

La masa de Júpiter es de $1{,}93\cdot10^{27}\ \text{kg}$, unas trescientas veces la de la Tierra. Es notable que Galileo pudiera obtenerla, en principio, con solo un catalejo y un reloj.

$\textbf{b) El radio de la órbita de Calisto. [1 punto]}$

Se aplica la tercera ley de Kepler a los dos satélites de Júpiter, que comparten la constante:

$\dfrac{T_C^2}{r_C^3}=\dfrac{T_I^2}{r_I^3}\Rightarrow r_C=r_I\left(\dfrac{T_C}{T_I}\right)^{2/3}$

$r_C=4{,}29\cdot10^{8}\left(\dfrac{16{,}7}{1{,}8}\right)^{2/3}=1{,}89\cdot10^{9}\ \text{m}$

El radio de la órbita de Calisto es de $1{,}89\cdot10^{9}\ \text{m}$, unas cuatro veces y media el de Ío. Nótese que los periodos pueden dejarse en días, porque solo interviene su cociente.

$\textbf{c) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter. [0,5 puntos]}$

La aceleración de la gravedad en la superficie es el campo gravitatorio a una distancia igual al radio del planeta:

$g_J=G\dfrac{M_J}{R_J^2}=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}93\cdot10^{27}}{\left(7{,}15\cdot10^{7}\right)^2}$

$g_J=25{,}2\ \text{m/s}^2$

La aceleración de la gravedad en la superficie de Júpiter es de $25{,}2\ \text{m/s}^2$, unas dos veces y media la terrestre. Pese a tener trescientas veces más masa, su radio es once veces mayor, y el radio entra al cuadrado.