Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Aragón · 2022

a) La intensidad del sonido puede medirse en decibelios (dB). Explique en qué consiste la escala decibélica de intensidad acústica (o sonoridad). [1 punto]

Un agente secreto está grabando con un teléfono móvil, a través de una pared, una conversación de un espía enemigo. La distancia entre ambos es de 5 m y, debido a la pared, al teléfono sólo le llega un 2 % de la intensidad que le llegaría si no hubiera pared. El nivel de intensidad sonora de una conversación a 1 m es de 50 dB.

b) Calcule el nivel de intensidad sonora que llega al móvil. Si el teléfono es capaz de grabar conversaciones a 100 metros de distancia, ¿cuál es el nivel más bajo de intensidad sonora que es capaz de medir? [1,5 puntos]

Dato: intensidad umbral del oído humano, $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}/\text{m}^2$.

$\textbf{a) La intensidad del sonido puede medirse en decibelios (dB). Explique en qué consiste la escala decibélica de intensidad acústica (o sonoridad). [1 punto]}$

El oído humano no responde de forma proporcional a la intensidad del sonido, sino aproximadamente logarítmica: para que un sonido se perciba el doble de fuerte hay que multiplicar su intensidad por mucho más de dos. Por eso el nivel de intensidad sonora se define con un logaritmo, tomando como referencia el umbral de audición:

$\beta=10\log\dfrac{I}{I_0}$

donde $I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2$ es la intensidad umbral, la mínima que el oído humano percibe a 1000 Hz. El resultado se expresa en decibelios.

La escala tiene dos consecuencias que conviene retener. La primera es que el umbral de audición corresponde por definición a 0 dB, y el umbral de dolor, un billón de veces más intenso, a solo 120 dB. La segunda es que multiplicar la intensidad por diez añade 10 dB, y duplicarla añade solo 3 dB.

$\textbf{b) Calcule el nivel de intensidad sonora que llega al móvil. Si el teléfono es capaz de grabar conversaciones a 100 metros de distancia, ¿cuál es el nivel más bajo de intensidad sonora que es capaz de medir? [1,5 puntos]}$










Primero se pasa a intensidad el dato de la conversación a 1 m:

$50=10\log\dfrac{I_1}{I_0}\Rightarrow I_1=I_0\,10^{5}$

$I_1=10^{-7}\ \text{W/m}^2$

Como el foco es puntual, la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia.





A los 5 m que separan al espía del agente, y antes de la pared:

$I_5=I_1\left(\dfrac{1}{5}\right)^2=\dfrac{10^{-7}}{25}=4{,}0\cdot10^{-9}\ \text{W/m}^2$

La pared solo deja pasar el 2 por ciento de esa intensidad:

$I=0{,}02\cdot4{,}0\cdot10^{-9}=8{,}0\cdot10^{-11}\ \text{W/m}^2$

$\beta=10\log\dfrac{8{,}0\cdot10^{-11}}{10^{-12}}=10\log 80=19{,}0\ \text{dB}$

Al móvil le llega un nivel de intensidad sonora de $19{,}0\ \text{dB}$.

Para la segunda parte, la conversación a 100 m sin pared tendría una intensidad:

$I_{100}=I_1\left(\dfrac{1}{100}\right)^2=10^{-11}\ \text{W/m}^2$

$\beta_{\min}=10\log\dfrac{10^{-11}}{10^{-12}}=10\log 10=10\ \text{dB}$

El nivel más bajo que el teléfono es capaz de medir es de $10\ \text{dB}$. Es un aparato sensible: ese nivel está diez veces por encima del umbral de audición en intensidad, pero muy por debajo de lo que se considera un susurro.