Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2022

a) Escriba la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple y comente el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación. [1 punto]

Una partícula de masa $m$ inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y le cuesta 0,1 s llegar al centro de ella. La distancia entre ambas posiciones es de 20 cm.

b) Calcule el periodo del movimiento y la frecuencia angular. [0,5 puntos]

c) Calcule la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo. Determine la posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento. [1 punto]

$\textbf{a) Escriba la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico simple y comente el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación. [1 punto]}$

La elongación de un movimiento armónico simple es una función sinusoidal del tiempo:

$x(t)=A\,\text{sen}\,(\omega t+\varphi_0)$

Las magnitudes que aparecen son cuatro:

$x$ es la elongación, la separación de la partícula respecto de su posición de equilibrio en cada instante. Se mide en metros.

$A$ es la amplitud, el valor máximo que puede alcanzar la elongación. También se mide en metros, y queda fijada por las condiciones iniciales del movimiento.

$\omega$ es la frecuencia angular o pulsación, que se mide en radianes por segundo y se relaciona con el periodo y la frecuencia mediante $\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f$. Depende solo de las características del oscilador.

$\varphi_0$ es la fase inicial, en radianes, que indica en qué punto de su ciclo se encontraba la partícula en el instante $t=0$.

Al conjunto $\omega t+\varphi_0$ se le llama fase del movimiento, y es lo que determina la posición dentro del ciclo.

$\textbf{b) Calcule el periodo del movimiento y la frecuencia angular. [0,5 puntos]}$

La partícula parte del extremo de la trayectoria y llega al centro, es decir, a la posición de equilibrio. Ese recorrido es la cuarta parte de una oscilación completa:

$\dfrac{T}{4}=0{,}1\ \text{s}\Rightarrow T=0{,}4\ \text{s}$

Y de ahí la frecuencia angular:

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0{,}4}=5\pi=15{,}7\ \text{rad/s}$

El periodo del movimiento es de $0{,}4\ \text{s}$ y la frecuencia angular, de $15{,}7\ \text{rad/s}$.

$\textbf{c) Calcule la ecuación de la posición de la partícula en función del tiempo. Determine la posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento. [1 punto]}$










La distancia entre el extremo y el centro es la amplitud:

$A=20\ \text{cm}=0{,}20\ \text{m}$

Como en $t=0$ la partícula está en el extremo, la elongación vale ahí $+A$, y la función que cumple esa condición es un coseno.





$x(t)=A\cos(\omega t)=0{,}20\cos(5\pi t)\ \text{m}$

Se sustituye el instante pedido:

$x(1)=0{,}20\cos(5\pi)=0{,}20\cdot(-1)$

$x(1)=-0{,}20\ \text{m}$

Un segundo después de iniciado el movimiento la partícula está en $-0{,}20\ \text{m}$, es decir, en el extremo opuesto al de partida. Era previsible: en 1 s caben dos periodos y medio, y medio periodo lleva la partícula de un extremo al otro.