Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Aragón · 2023

Conteste a las siguientes preguntas:

a) Enuncie la hipótesis de De Broglie e indique de qué depende la longitud de onda asociada a una partícula. [0,5 puntos]

b) Un protón que parte del reposo es acelerado mediante un campo electrostático entre dos puntos con una diferencia de potencial de $\Delta V = 203\ \text{V}$. Calcule la energía cinética que adquiere. [1 punto]

c) Calcule la velocidad final del protón y su longitud de onda asociada. [1 punto]

Datos: carga del protón, $1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$; constante de Planck, $6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J} \cdot \text{s}$; masa del protón, $1{,}67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Enuncie la hipótesis de De Broglie e indique de qué depende la longitud de onda asociada a una partícula. [0,5 puntos]}$

La hipótesis de De Broglie extiende a la materia la dualidad onda-corpúsculo que ya se había establecido para la luz. Del mismo modo que un fotón de energía $E$ lleva asociada una cantidad de movimiento $p=E/c=h/\lambda$, toda partícula material que se mueve con una cantidad de movimiento $p$ lleva asociada una onda de longitud de onda:

$\lambda=\dfrac{h}{p}=\dfrac{h}{m\,v}$

La longitud de onda asociada depende, por tanto, solo de la constante de Planck y de la cantidad de movimiento de la partícula: es tanto menor cuanto mayores son su masa y su velocidad.

Esto explica por qué el comportamiento ondulatorio no se observa en los objetos cotidianos: con masas macroscópicas la longitud de onda resulta inconcebiblemente pequeña. Solo en partículas subatómicas es comparable a las distancias atómicas y se manifiesta, como en la difracción de electrones.

$\textbf{b) Un protón que parte del reposo es acelerado mediante un campo electrostático entre dos puntos con una diferencia de potencial de } \boldsymbol{\Delta V=203\ \text{V}}\textbf{. Calcule la energía cinética que adquiere. [1 punto]}$










El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre el protón se invierte íntegramente en energía cinética, porque parte del reposo y el campo electrostático es conservativo:

$E_c=W=q\,\Delta V$





$E_c=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot203=3{,}25\cdot10^{-17}\ \text{J}$

La energía cinética que adquiere el protón es de $3{,}25\cdot10^{-17}\ \text{J}$, que expresada en electronvoltios son exactamente los 203 eV que anticipa la definición de esa unidad.

$\textbf{c) Calcule la velocidad final del protón y su longitud de onda asociada. [1 punto]}$

De la expresión clásica de la energía cinética se despeja la velocidad, que a este valor está muy lejos de la de la luz y no exige corrección relativista:

$E_c=\dfrac{1}{2}m\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{2E_c}{m}}$

$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot3{,}25\cdot10^{-17}}{1{,}67\cdot10^{-27}}}=1{,}97\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Y con la hipótesis de De Broglie:

$\lambda=\dfrac{h}{m\,v}=\dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot1{,}97\cdot10^{5}}=2{,}01\cdot10^{-12}\ \text{m}$

El protón sale con una velocidad de $1{,}97\cdot10^{5}\ \text{m/s}$ y su longitud de onda asociada es de $2{,}01\cdot10^{-12}\ \text{m}$, del orden de un picómetro: mil veces menor que un átomo, porque el protón es casi dos mil veces más masivo que un electrón.