Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Aragón · 2023

Un espejo de maquillaje cóncavo produce una imagen derecha aumentada del sujeto.

a) Haga un trazado de rayos en el que se demuestre su funcionamiento. ¿De qué tipo es la imagen, real o virtual? [1,25 puntos]

b) Si al colocar la cara a 20 cm del espejo se observa una imagen con el doble de tamaño, ¿qué tamaño tendrá la imagen de un objeto de 3 cm al colocarlo a 30 cm del espejo? ¿A qué distancia se formará dicha imagen? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Haga un trazado de rayos en el que se demuestre su funcionamiento. ¿De qué tipo es la imagen, real o virtual? [1,25 puntos]}$

Para que un espejo cóncavo dé una imagen derecha y aumentada, el objeto tiene que estar entre el foco y el espejo. Es la única posición en la que ocurre: en cualquier otra la imagen sale real e invertida.



En el trazado se han dibujado dos rayos. El paralelo al eje se refleja pasando por el foco $F$; el que va al vértice se refleja formando el mismo ángulo con el eje. Los dos rayos reflejados divergen, así que no llegan a cortarse delante del espejo: lo que se corta son sus prolongaciones, detrás del espejo.

La imagen es, por tanto, virtual: no puede recogerse sobre una pantalla, solo se ve mirando al espejo. Y como las prolongaciones se cortan por encima del eje y más lejos, la imagen es derecha y mayor que el objeto, que es exactamente lo que se busca en un espejo de maquillaje.

$\textbf{b) Si al colocar la cara a 20 cm del espejo se observa una imagen con el doble de tamaño, ¿qué tamaño tendrá la imagen de un objeto de 3 cm al colocarlo a 30 cm del espejo? ¿A qué distancia se formará dicha imagen? [1,25 puntos]}$

Se usa el criterio DIN, con el origen en el vértice del espejo y las distancias medidas desde él: el objeto está a la izquierda, luego $s=-20\ \text{cm}$.

El primer dato permite obtener la distancia focal del espejo. El aumento lateral es:

$\beta=-\dfrac{s'}{s}=2\Rightarrow s'=-2s=40\ \text{cm}$

Es positivo, o sea que la imagen se forma detrás del espejo: virtual, como se había razonado. Con la ecuación de los espejos esféricos se despeja la focal:

$\dfrac{1}{s'}+\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{f}\Rightarrow \dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{40}+\dfrac{1}{-20}=-\dfrac{1}{40}$

$f=-40\ \text{cm}$

La focal es negativa, como corresponde a un espejo cóncavo. Con ella ya se puede resolver el segundo supuesto, con el objeto a 30 cm:

$\dfrac{1}{s'}=\dfrac{1}{f}-\dfrac{1}{s}=\dfrac{1}{-40}-\dfrac{1}{-30}=\dfrac{1}{120}$

$s'=120\ \text{cm}$

Y el aumento a esa distancia:

$\beta=-\dfrac{s'}{s}=-\dfrac{120}{-30}=4$

$y'=\beta\,y=4\cdot3=12\ \text{cm}$

La imagen del objeto de 3 cm mide $12\ \text{cm}$ y se forma a $120\ \text{cm}$ detrás del espejo. Sigue siendo virtual y derecha, y el aumento es mayor que antes porque el objeto se ha acercado al foco.