Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Aragón · 2023

Se tienen tres partículas cargadas con $+2\ \text{mC}$ cada una en los vértices 1, 2 y 3 de un triángulo rectángulo, tal y como se muestra en la figura.

a) Calcule la fuerza electrostática total (módulo y ángulo) que hacen las partículas 1 y 2 sobre la partícula 3. [1 punto]

b) Calcule (módulo y ángulo) y dibuje el campo electrostático que crea la partícula 3 en el punto 4, situado en el punto $(2\ \text{cm},\ 3\ \text{cm})$. [1 punto]

c) Explique el concepto de campo electrostático y dé la expresión del campo creado por una carga puntual $+q$ a una distancia $r$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la fuerza electrostática total (módulo y ángulo) que hacen las partículas 1 y 2 sobre la partícula 3. [1 punto]}$










Las tres cargas son positivas, así que las dos fuerzas sobre la partícula 3 son repulsivas: la 1 la empuja hacia abajo y la 2 hacia la izquierda.

Se toma el origen en la partícula 3, con $\vec\imath$ hacia la derecha y $\vec\jmath$ hacia arriba.





Por la ley de Coulomb, la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 3, separadas 3 cm sobre el eje $Y$:

$\vec F_{13}=K\dfrac{q_1\,q_3}{d_{13}^2}\left(-\vec\jmath\right)=-9\cdot10^9\dfrac{2\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-3}}{0{,}03^2}\,\vec\jmath$

$\vec F_{13}=-4{,}0\cdot10^{7}\,\vec\jmath\ \text{N}$

Y la que ejerce la partícula 2, separada 2 cm sobre el eje $X$:

$\vec F_{23}=K\dfrac{q_2\,q_3}{d_{23}^2}\left(-\vec\imath\right)=-9\cdot10^9\dfrac{2\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-3}}{0{,}02^2}\,\vec\imath$

$\vec F_{23}=-9{,}0\cdot10^{7}\,\vec\imath\ \text{N}$

Por el principio de superposición, la fuerza total es la suma vectorial de las dos. Como son perpendiculares, el módulo sale del teorema de Pitágoras:

$F=\sqrt{F_{13}^2+F_{23}^2}=\sqrt{\left(4{,}0\cdot10^{7}\right)^2+\left(9{,}0\cdot10^{7}\right)^2}$

$F=9{,}85\cdot10^{7}\ \text{N}$

Y el ángulo con el eje $X$ positivo, teniendo en cuenta que las dos componentes son negativas y que la resultante cae por tanto en el tercer cuadrante:

$\alpha=180^\circ+\arctan\left(\dfrac{4{,}0\cdot10^{7}}{9{,}0\cdot10^{7}}\right)=204^\circ$

La fuerza total sobre la partícula 3 tiene un módulo de $9{,}85\cdot10^{7}\ \text{N}$ y forma $204^\circ$ con el eje $X$ positivo, es decir, apunta hacia abajo y a la izquierda, alejándose de las otras dos cargas.

$\textbf{b) Calcule (módulo y ángulo) y dibuje el campo electrostático que crea la partícula 3 en el punto 4, situado en el punto } \boldsymbol{(2\ \text{cm},\ 3\ \text{cm})}\textbf{. [1 punto]}$










La distancia entre la partícula 3, que está en el origen, y el punto 4 se obtiene por el teorema de Pitágoras:

$d_{34}=\sqrt{2^2+3^2}=3{,}61\ \text{cm}$

$d_{34}=3{,}61\cdot10^{-2}\ \text{m}$





El módulo del campo creado por una carga puntual a esa distancia es:

$E_3=K\dfrac{q_3}{d_{34}^2}=9\cdot10^9\dfrac{2\cdot10^{-3}}{\left(3{,}61\cdot10^{-2}\right)^2}$

$E_3=1{,}38\cdot10^{10}\ \text{N/C}$

La dirección es la de la recta que une la carga con el punto, y el sentido, al ser la carga positiva, es el que se aleja de ella. El ángulo con el eje $X$ positivo se obtiene por trigonometría:

$\beta=\arctan\left(\dfrac{3}{2}\right)=56{,}3^\circ$

El campo que la partícula 3 crea en el punto 4 tiene un módulo de $1{,}38\cdot10^{10}\ \text{N/C}$ y forma $56{,}3^\circ$ con el eje $X$ positivo, alejándose de la carga, como se ha dibujado.

$\textbf{c) Explique el concepto de campo electrostático y dé la expresión del campo creado por una carga puntual } \boldsymbol{+q}\textbf{ a una distancia } \boldsymbol{r}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El campo electrostático es la perturbación que una distribución de cargas en reposo produce en el espacio que la rodea, de modo que cualquier otra carga colocada en él siente una fuerza. Se define como la fuerza que actúa sobre la unidad de carga positiva colocada en cada punto:

$\vec E=\dfrac{\vec F}{q_0}$

Es una magnitud vectorial y se mide en $\text{N/C}$, que equivale a $\text{V/m}$.

Para una carga puntual $+q$ a una distancia $r$:

$\vec E=K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$

donde $\vec u_r$ es el vector unitario que va de la carga al punto. Al ser la carga positiva, el campo se aleja de ella; si fuese negativa, apuntaría hacia ella.