Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2023

Europa es uno de los satélites más grandes de Júpiter, con una masa de $4{,}80 \cdot 10^{22}\ \text{kg}$ y un radio de 1561 km.

a) Calcule la velocidad de escape en Europa. [1,65 puntos]

b) Explique el concepto de campo gravitatorio y dé la expresión del campo generado por una masa $M$ a una distancia $r$. [0,85 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2/\text{kg}^2$.

$\textbf{a) Calcule la velocidad de escape en Europa. [1,65 puntos]}$










La velocidad de escape es la mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en la superficie para que se aleje indefinidamente, es decir, para que llegue al infinito con velocidad nula.

El campo gravitatorio es conservativo y no actúan otras fuerzas, así que la energía mecánica se conserva.





En el infinito tanto la energía cinética como la potencial son nulas, luego la energía mecánica en la superficie también debe serlo:

$\dfrac{1}{2}m\,v_e^2-G\dfrac{M\,m}{R}=0$

Se despeja la velocidad de escape, y se comprueba que no depende de la masa del cuerpo lanzado:

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\,G\,M}{R}}$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$R=1561\ \text{km}=1{,}561\cdot10^{6}\ \text{m}$

$v_e=\sqrt{\dfrac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot4{,}80\cdot10^{22}}{1{,}561\cdot10^{6}}}=2{,}03\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

La velocidad de escape en Europa es de $2{,}03\cdot10^{3}\ \text{m/s}$, unos 2 km/s. Es cinco veces menor que la terrestre, que ronda los 11,2 km/s, porque Europa tiene mucha menos masa.

$\textbf{b) Explique el concepto de campo gravitatorio y dé la expresión del campo generado por una masa } \boldsymbol{M}\textbf{ a una distancia } \boldsymbol{r}\textbf{. [0,85 puntos]}$

El campo gravitatorio creado por un cuerpo es la perturbación que su masa produce en el espacio que lo rodea, de modo que cualquier otra masa colocada en él siente una fuerza atractiva. Se define como la fuerza que actúa sobre la unidad de masa colocada en cada punto:

$\vec g=\dfrac{\vec F}{m}$

Es una magnitud vectorial y se mide en $\text{N/kg}$, que equivale a $\text{m/s}^2$: el campo gravitatorio en un punto coincide numéricamente con la aceleración que adquiere allí un cuerpo en caída libre.

Para una masa puntual $M$ a una distancia $r$, la ley de gravitación universal da:

$\vec g=-G\dfrac{M}{r^2}\,\vec u_r$

donde $\vec u_r$ es el vector unitario que va de la masa al punto. El signo negativo indica que el campo apunta siempre hacia la masa que lo crea: el campo gravitatorio es siempre atractivo, a diferencia del eléctrico.