Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2023

Un satélite de 80 kg se encuentra en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 586 km sobre la superficie.

a) Calcule el campo gravitatorio de la Tierra a dicha altura y la energía mecánica del satélite. [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es el periodo de la órbita del satélite alrededor de la Tierra? [0,95 puntos]

c) Explique el concepto de energía potencial gravitatoria y dé su expresión para una masa $m$ que orbita a una distancia $r$ de otra masa $M$. [0,8 puntos]

Datos: radio de la Tierra, 6370 km; constante de gravitación universal, $6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2/\text{kg}^2$; masa de la Tierra, $5{,}972 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Calcule el campo gravitatorio de la Tierra a dicha altura y la energía mecánica del satélite. [0,75 puntos]}$










Tanto el campo como la energía dependen solo de la distancia al centro de la Tierra, que es el radio terrestre más la altura:

$r=R_T+h=6370+586=6956\ \text{km}$

$r=6{,}956\cdot10^{6}\ \text{m}$





El campo gravitatorio creado por la Tierra a esa distancia es:

$g=G\dfrac{M_T}{r^2}=\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}}{\left(6{,}956\cdot10^{6}\right)^2}=8{,}23\ \text{N/kg}$

Para la energía mecánica se necesita la cinética, que sale de imponer que la fuerza gravitatoria sea la centrípeta:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow \dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

Y sumándole la energía potencial:

$E_m=E_c+E_p=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}-\dfrac{G\,M_T\,m}{r}=-\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

$E_m=-\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot80}{2\cdot6{,}956\cdot10^{6}}=-2{,}29\cdot10^{9}\ \text{J}$

El campo gravitatorio a esa altura vale $8{,}23\ \text{N/kg}$ y la energía mecánica del satélite es $-2{,}29\cdot10^{9}\ \text{J}$. La energía mecánica de un satélite en órbita es siempre negativa: es la mitad de la potencial, y eso es justamente lo que significa estar ligado a la Tierra.

$\textbf{b) ¿Cuál es el periodo de la órbita del satélite alrededor de la Tierra? [0,95 puntos]}$

De la misma condición de movimiento circular se despeja la velocidad orbital:

$v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}}{6{,}956\cdot10^{6}}}=7{,}57\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Como el movimiento es circular uniforme, el periodo es lo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot6{,}956\cdot10^{6}}{7{,}57\cdot10^{3}}=5{,}78\cdot10^{3}\ \text{s}$

El periodo de la órbita es de $5{,}78\cdot10^{3}\ \text{s}$, es decir, 1,6 horas: el satélite da unas quince vueltas a la Tierra cada día. Se obtiene el mismo valor aplicando directamente la tercera ley de Kepler.

$\textbf{c) Explique el concepto de energía potencial gravitatoria y dé su expresión para una masa } \boldsymbol{m}\textbf{ que orbita a una distancia } \boldsymbol{r}\textbf{ de otra masa } \boldsymbol{M}\textbf{. [0,8 puntos]}$

La energía potencial gravitatoria de un sistema de dos masas es el trabajo que hay que realizar contra el campo para traerlas desde el infinito, donde no interaccionan, hasta la distancia a la que están. Es una energía del sistema formado por las dos, no de una sola.

Su expresión es:

$E_p=-G\dfrac{M\,m}{r}$

Las magnitudes que aparecen son la constante de gravitación universal $G$, en $\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; las dos masas $M$ y $m$, en kilogramos; y la distancia $r$ entre sus centros, en metros. La energía potencial resulta en julios.

El signo negativo es consecuencia de tomar el origen de energías en el infinito y de que la fuerza gravitatoria sea siempre atractiva: hay que aportar energía para separar las masas, así que la energía potencial aumenta —se hace menos negativa— al alejarlas.