Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Aragón · 2023

Al cabo de 30 días, la actividad radiactiva de cierto elemento ha descendido un 20 %.

a) ¿Cuál es la constante de desintegración, $\lambda$? [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración? [0,75 puntos]

c) Explique la ley de desintegración radiactiva. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la constante de desintegración, } \boldsymbol{\lambda}\textbf{? [0,75 puntos]}$










La actividad de una muestra es proporcional al número de núcleos sin desintegrar, así que sigue la misma ley exponencial:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Que la actividad haya descendido un 20 por ciento significa que queda el 80 por ciento de la inicial:

$\dfrac{A}{A_0}=0{,}80$





Se toman logaritmos y se despeja la constante de desintegración:

$\ln\left(\dfrac{A}{A_0}\right)=-\lambda\,t\Rightarrow \lambda=-\dfrac{\ln 0{,}80}{t}$

Con el tiempo en unidades del Sistema Internacional:

$t=30\ \text{días}\cdot\dfrac{86\,400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=2{,}59\cdot10^{6}\ \text{s}$

$\lambda=-\dfrac{\ln 0{,}80}{2{,}59\cdot10^{6}}=8{,}61\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}$

La constante de desintegración vale $8{,}61\cdot10^{-8}\ \text{s}^{-1}$. También puede darse en días elevados a menos uno, $7{,}44\cdot10^{-3}\ \text{días}^{-1}$, sin más que dejar el tiempo en días.

$\textbf{b) ¿Cuál es el periodo de semidesintegración? [0,75 puntos]}$

El periodo de semidesintegración es el tiempo que debe transcurrir para que quede la mitad de los núcleos, o lo que es lo mismo, la mitad de la actividad:

$\dfrac{1}{2}=e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$

$T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{8{,}61\cdot10^{-8}}=8{,}05\cdot10^{6}\ \text{s}$

El periodo de semidesintegración es de $8{,}05\cdot10^{6}\ \text{s}$, es decir, 93,2 días. Tiene sentido que sea bastante mayor que los 30 días del enunciado, porque en ese tiempo la actividad solo había bajado un 20 por ciento, no la mitad.

$\textbf{c) Explique la ley de desintegración radiactiva. [1 punto]}$

La desintegración de un núcleo es un proceso aleatorio: no se puede predecir cuándo se desintegrará un núcleo concreto. Lo que sí es constante, y característico de cada isótopo, es la probabilidad de que un núcleo se desintegre por unidad de tiempo, y esa probabilidad es la constante de desintegración $\lambda$. No depende del tiempo que el núcleo lleve existiendo ni de las condiciones externas de presión o temperatura.

Si en una muestra hay $N$ núcleos, el número de desintegraciones por unidad de tiempo es proporcional a ese número:

$-\dfrac{dN}{dt}=\lambda\,N$

Integrando esta ecuación se obtiene la ley de desintegración radiactiva:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

donde $N_0$ es el número de núcleos presentes en el instante inicial y $N$ los que quedan sin desintegrar al cabo de un tiempo $t$. La disminución es exponencial, de modo que en cada intervalo de duración $T_{1/2}$ el número de núcleos se reduce a la mitad, como muestra la gráfica.

La actividad, $A=\lambda N$, que es el número de desintegraciones por segundo y se mide en becquerelios, sigue la misma ley exponencial.