Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2023

Se supone que la Luna traza una órbita circular alrededor de la Tierra de radio $3{,}84 \cdot 10^{8}\ \text{m}$.

a) Deduzca la tercera ley de Kepler aplicando la dinámica newtoniana al caso de órbitas circulares. [0,5 puntos]

b) Calcule la velocidad orbital y el periodo de la órbita lunar. [1,2 puntos]

c) Si la Luna tuviera el doble de masa y orbitara a la misma distancia, ¿cuál sería el periodo de la órbita? Justifique la respuesta. [0,8 puntos]

Datos: masa de la Tierra, $5{,}972 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; constante de gravitación universal, $6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2/\text{kg}^2$.

$\textbf{a) Deduzca la tercera ley de Kepler aplicando la dinámica newtoniana al caso de órbitas circulares. [0,5 puntos]}$










En una órbita circular la única fuerza sobre el cuerpo que orbita es la gravitatoria, y es la que hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M\,m}{r^2}=m\,\omega^2 r$

$\omega^2=\dfrac{G\,M}{r^3}$





Basta sustituir la velocidad angular por su relación con el periodo:

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}\Rightarrow \dfrac{4\pi^2}{T^2}=\dfrac{G\,M}{r^3}$

$\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}=\text{constante}$

Que es la tercera ley de Kepler: el cociente entre el cuadrado del periodo y el cubo del radio es el mismo para todos los cuerpos que orbitan un mismo astro, porque solo depende de la masa de este.

$\textbf{b) Calcule la velocidad orbital y el periodo de la órbita lunar. [1,2 puntos]}$

De la misma igualdad entre la fuerza gravitatoria y la centrípeta, escrita ahora con la velocidad lineal:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{G\,M_T}{r}}$

$v=\sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}}{3{,}84\cdot10^{8}}}=1{,}02\cdot10^{3}\ \text{m/s}$

Como el movimiento es circular uniforme, el periodo es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\cdot3{,}84\cdot10^{8}}{1{,}02\cdot10^{3}}=2{,}37\cdot10^{6}\ \text{s}$

La Luna orbita a $1{,}02\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ con un periodo de $2{,}37\cdot10^{6}\ \text{s}$, es decir, unos 27,4 días, que es el mes sidéreo.

$\textbf{c) Si la Luna tuviera el doble de masa y orbitara a la misma distancia, ¿cuál sería el periodo de la órbita? Justifique la respuesta. [0,8 puntos]}$

El periodo sería exactamente el mismo, $2{,}37\cdot10^{6}\ \text{s}$.

La razón se ve en la deducción del apartado a): al igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta, la masa del cuerpo que orbita aparece en los dos miembros y se simplifica. Lo que queda,

$\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}$

solo contiene la masa del astro central y el radio de la órbita. Es el mismo motivo por el que todos los cuerpos caen con la misma aceleración en el vacío.