Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2023

Se desea colocar en órbita circular un satélite geoestacionario de forma que una vez en su órbita parezca inmóvil en el cielo para un observador en la Tierra.

a) ¿A qué distancia del centro de la Tierra debe ponerse en órbita el satélite para que esto ocurra? [1 punto]

b) ¿Cuánta energía se le debe proporcionar para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra si el satélite tiene una masa de 120 kg? Desprecie la energía cinética inicial debida a la rotación de la Tierra. [0,75 puntos]

c) Escriba la expresión de la energía potencial gravitatoria del satélite una vez en órbita, explicando cada una de sus variables y sus unidades. [0,75 puntos]

Datos: masa de la Tierra, $5{,}972 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$; constante de gravitación universal, $6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N}\ \text{m}^2/\text{kg}^2$; radio de la Tierra, 6371 km; periodo de rotación de la Tierra, 1 día.

$\textbf{a) ¿A qué distancia del centro de la Tierra debe ponerse en órbita el satélite para que esto ocurra? [1 punto]}$










Que el satélite parezca inmóvil en el cielo significa que gira con la misma velocidad angular que la Tierra, es decir, que su periodo orbital es de un día.

La única fuerza sobre el satélite es la gravitatoria, que hace de centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2}=m\,\omega^2 r$





Se despeja el radio de la órbita:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T}{\omega^2}}$

La velocidad angular se obtiene del periodo de rotación de la Tierra:

$T=1\ \text{día}=86\,400\ \text{s}\Rightarrow \omega=\dfrac{2\pi}{T}=7{,}27\cdot10^{-5}\ \text{rad/s}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}}{\left(7{,}27\cdot10^{-5}\right)^2}}=4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m}$

El satélite debe colocarse a $4{,}22\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centro de la Tierra, unos 42 200 km, que corresponden a unos 35 900 km de altura sobre la superficie. Es la órbita geoestacionaria, y es única.

$\textbf{b) ¿Cuánta energía se le debe proporcionar para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra si el satélite tiene una masa de 120 kg? Desprecie la energía cinética inicial debida a la rotación de la Tierra. [0,75 puntos]}$

Se aplica la conservación de la energía mecánica entre la superficie y la órbita. En la superficie, despreciando la energía cinética inicial, solo hay energía potencial; en la órbita hay las dos:

$E_{c,i}-G\dfrac{M_T\,m}{R_T}=\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

La energía cinética en órbita se obtiene de la condición de movimiento circular del apartado anterior:

$\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{G\,M_T\,m}{2r}$

Se sustituye y se despeja la energía que hay que aportar:

$E_{c,i}=G\,M_T\,m\left(\dfrac{1}{R_T}-\dfrac{1}{2r}\right)$

$E_{c,i}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}972\cdot10^{24}\cdot120\left(\dfrac{1}{6{,}371\cdot10^{6}}-\dfrac{1}{2\cdot4{,}22\cdot10^{7}}\right)$

$E_{c,i}=6{,}94\cdot10^{9}\ \text{J}$

Hay que proporcionarle $6{,}94\cdot10^{9}\ \text{J}$.

$\textbf{c) Escriba la expresión de la energía potencial gravitatoria del satélite una vez en órbita, explicando cada una de sus variables y sus unidades. [0,75 puntos]}$

La energía potencial gravitatoria del satélite en la órbita es:

$E_p=-G\dfrac{M_T\,m}{r}$

Las cuatro magnitudes que aparecen son:

$G$, la constante de gravitación universal, que vale $6{,}67\cdot10^{-11}$ y se mide en $\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

$M_T$, la masa de la Tierra, en kilogramos.

$m$, la masa del satélite, también en kilogramos.

$r$, la distancia del satélite al centro de la Tierra, en metros.

La energía potencial se mide en julios. El signo negativo procede de tomar el origen de energías en el infinito: el campo gravitatorio es siempre atractivo, así que hay que hacer trabajo para alejar el satélite, y la energía potencial crece —se hace menos negativa— con la distancia.