Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

Un método usado para pesar a los astronautas consiste en hacerles oscilar verticalmente sobre un muelle de forma que, conociendo la constante elástica, se puede determinar la masa del astronauta.

a) Si el periodo de oscilación del muelle, supuesto ideal, con una silla anclada de 29,7 kg es de 3,5 s, calcule la constante elástica del muelle. [1 punto]

b) ¿Cuál será la masa del astronauta sentado en la silla si el periodo de oscilación se duplica al hacerlo oscilar con el astronauta sentado en la silla? [1,5 puntos]

$\textbf{a) Si el periodo de oscilación del muelle, supuesto ideal, con una silla anclada de 29,7 kg es de 3,5 s, calcule la constante elástica del muelle. [1 punto]}$

Un cuerpo colgado de un muelle ideal describe un movimiento armónico simple cuya frecuencia angular depende solo de la constante elástica y de la masa:

$\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$

Y como la frecuencia angular se obtiene del periodo:

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}\Rightarrow k=m\,\omega^2=m\left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^2$

Se sustituyen los datos de la silla sola:

$k=29{,}7\left(\dfrac{2\pi}{3{,}5}\right)^2=95{,}7\ \text{N/m}$

La constante elástica del muelle es de $95{,}7\ \text{N/m}$. Es una propiedad del muelle, así que no cambiará al sentarse el astronauta: es justamente lo que permite usar el dispositivo como balanza.

$\textbf{b) ¿Cuál será la masa del astronauta sentado en la silla si el periodo de oscilación se duplica al hacerlo oscilar con el astronauta sentado en la silla? [1,5 puntos]}$

Al duplicarse el periodo, la nueva frecuencia angular es la mitad:

$T'=2T=7\ \text{s}\Rightarrow \omega'=\dfrac{2\pi}{7}=0{,}898\ \text{rad/s}$

De la misma expresión, con la constante elástica ya conocida, se despeja la masa total que oscila:

$m_{\text{total}}=\dfrac{k}{\omega'^2}=\dfrac{95{,}7}{0{,}898^2}=118{,}8\ \text{kg}$

Esa masa es la de la silla más la del astronauta, así que basta restar:

$m_{\text{astronauta}}=m_{\text{total}}-m_{\text{silla}}=118{,}8-29{,}7=89{,}1\ \text{kg}$

El astronauta tiene una masa de $89{,}1\ \text{kg}$. El resultado se podía anticipar: al duplicarse el periodo la masa total se multiplica por cuatro, porque el periodo va con la raíz cuadrada de la masa.