Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Aragón · 2024

El umbral de dolor sonoro para el oído humano es de 120 decibelios (dB).

a) Defina el concepto de decibelio. [0,5 puntos]

b) ¿A qué intensidad sonora, medida en $\text{W}/\text{m}^2$, corresponde el valor de 120 dB? [1 punto]

c) Si el motor de un avión a reacción emite una potencia de $10^{6}\ \text{W}$ distribuida por igual en todas las direcciones del espacio, ¿a qué distancia mínima debemos situarnos para no sentir dolor en los oídos? [1 punto]

Dato: intensidad sonora umbral, $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}/\text{m}^2$.

$\textbf{a) Defina el concepto de decibelio. [0,5 puntos]}$

El oído humano responde de forma logarítmica a la intensidad del sonido, así que el nivel de intensidad sonora se define con un logaritmo, tomando como referencia el umbral de audición:

$\beta=10\log\dfrac{I}{I_0}$

El decibelio es la unidad de ese nivel de intensidad sonora. Un decibelio corresponde a la décima parte del belio, y el belio es el nivel de un sonido cuya intensidad es diez veces la de referencia.

Por ser una escala logarítmica, multiplicar la intensidad por diez solo añade 10 dB. Es una magnitud relativa: el umbral de audición, $I_0=10^{-12}\ \text{W/m}^2$, corresponde a 0 dB por definición.

$\textbf{b) ¿A qué intensidad sonora, medida en } \boldsymbol{\text{W/m}^2}\textbf{, corresponde el valor de 120 dB? [1 punto]}$

Se despeja la intensidad de la definición de nivel de intensidad sonora:

$\beta=10\log\dfrac{I}{I_0}\Rightarrow \dfrac{I}{I_0}=10^{\beta/10}$

$I=I_0\,10^{\beta/10}=10^{-12}\cdot10^{120/10}=10^{-12}\cdot10^{12}$

$I=1\ \text{W/m}^2$

El umbral de dolor corresponde a una intensidad de $1\ \text{W/m}^2$, un billón de veces la del umbral de audición.

$\textbf{c) Si el motor de un avión a reacción emite una potencia de } \boldsymbol{10^{6}\ \text{W}}\textbf{ distribuida por igual en todas las direcciones del espacio, ¿a qué distancia mínima debemos situarnos para no sentir dolor en los oídos? [1 punto]}$










Si el foco emite por igual en todas las direcciones, la potencia se reparte uniformemente sobre los frentes de onda, que son esferas concéntricas. La intensidad es la potencia por unidad de superficie:

$I=\dfrac{P}{S}=\dfrac{P}{4\pi r^2}$

Por eso la intensidad disminuye con el cuadrado de la distancia al foco.





Se despeja la distancia y se impone que la intensidad no supere la del umbral de dolor:

$r=\sqrt{\dfrac{P}{4\pi I}}=\sqrt{\dfrac{10^{6}}{4\pi\cdot1}}=2{,}82\cdot10^{2}\ \text{m}$

Hay que situarse como mínimo a $2{,}82\cdot10^{2}\ \text{m}$ del motor. A menos de esos 282 metros la intensidad supera $1\ \text{W/m}^2$ y el sonido resulta doloroso.