Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Aragón · 2024

En 1949, el químico Willard Libby se interesó por la antigüedad que tenía nuestro planeta y descubrió que el carbono 14 podía convertirse en un método de datación.

a) Describa en qué consiste el método del carbono 14 y obtenga su vida media si su periodo de semidesintegración es de 5730 años. [1,75 puntos]

b) ¿Cuál es la edad de un fósil en el que la actividad radiactiva del carbono 14 es un 15 % de la inicial? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Describa en qué consiste el método del carbono 14 y obtenga su vida media si su periodo de semidesintegración es de 5730 años. [1,75 puntos]}$










El carbono 14 se produce continuamente en la atmósfera y los seres vivos lo incorporan mientras están vivos, de modo que su proporción frente al carbono 12 se mantiene constante en sus tejidos.

Al morir el organismo deja de incorporarlo, y a partir de ese momento la cantidad de carbono 14 solo disminuye, según la ley de desintegración radiactiva. Midiendo cuánto queda se sabe cuánto tiempo ha pasado.





La ley de desintegración es exponencial, y la constante de desintegración se relaciona con el periodo de semidesintegración imponiendo que en ese tiempo quede la mitad de los núcleos:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}\quad\Rightarrow\quad \dfrac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}$

$\lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}=\dfrac{\ln 2}{5730}=1{,}21\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

La vida media es el tiempo que vive por término medio un núcleo, y es la inversa de la constante de desintegración:

$\tau=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{5730}{\ln 2}=8{,}27\cdot10^{3}\ \text{años}$

La vida media del carbono 14 es de $8{,}27\cdot10^{3}\ \text{años}$, mayor que el periodo de semidesintegración, como ocurre siempre porque $\ln 2<1$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la edad de un fósil en el que la actividad radiactiva del carbono 14 es un 15 por ciento de la inicial? [0,75 puntos]}$

La actividad es proporcional al número de núcleos sin desintegrar, así que sigue la misma ley exponencial:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}$

Se impone la condición del enunciado y se despeja el tiempo tomando logaritmos:

$0{,}15\,A_0=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \ln 0{,}15=-\lambda t$

$t=-\dfrac{\ln 0{,}15}{\lambda}=-\dfrac{\ln 0{,}15}{1{,}21\cdot10^{-4}}=1{,}57\cdot10^{4}\ \text{años}$

El fósil tiene unos $1{,}57\cdot10^{4}\ \text{años}$, algo menos de tres periodos de semidesintegración, que es lo que cabía esperar de una actividad reducida a un séptimo de la inicial.