Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Aragón · 2024

El núcleo de la Tierra está formado en parte por metales ferromagnéticos fundidos, a cuyo movimiento se debe el campo magnético terrestre, que en el ecuador tiene un valor de 40 μT. Se lanza un catión de helio ($\text{He}^{2+}$) perpendicular al campo magnético a una velocidad de 540 m/s.

a) Explique el tipo de trayectoria que seguirá el catión despreciando la influencia gravitatoria. [0,75 puntos]

b) Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. [1 punto]

c) Si el campo magnético terrestre cesase de repente, ¿qué trayectoria seguiría el núcleo de helio, si se sigue despreciando la atracción gravitatoria? [0,75 puntos]

Datos: masa del núcleo de helio, $m_{\text{núcleo}} = 6{,}64 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$; carga del protón, $q_{\text{protón}} = 1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$; $1\ \mu\text{T} = 10^{-6}\ \text{T}$.

$\textbf{a) Explique el tipo de trayectoria que seguirá el catión despreciando la influencia gravitatoria. [0,75 puntos]}$










La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una carga en movimiento es la fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\,\vec v\times\vec B$

Por ser un producto vectorial, esa fuerza es siempre perpendicular a la velocidad. Nunca tiene componente tangencial, así que no cambia el módulo de la velocidad, solo su dirección.





Al ser el módulo de la velocidad constante y ser el campo uniforme, el módulo de la fuerza también es constante y siempre perpendicular al movimiento: es una fuerza centrípeta y la trayectoria es una circunferencia recorrida con movimiento circular uniforme.

$\textbf{b) Calcule el radio de curvatura de la trayectoria. [1 punto]}$

Se iguala la fuerza magnética a la fuerza centrípeta que exige el movimiento circular. Como la velocidad es perpendicular al campo, el módulo del producto vectorial es simplemente $v\,B$:

$q\,v\,B=m\dfrac{v^2}{R}\Rightarrow R=\dfrac{m\,v}{q\,B}$

El catión $\text{He}^{2+}$ ha perdido sus dos electrones, así que su carga es dos veces la del protón:

$q=2\,q_{\text{protón}}=2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}=3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{C}$

$B=40\ \mu\text{T}=4{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}$

$R=\dfrac{6{,}64\cdot10^{-27}\cdot540}{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot4{,}0\cdot10^{-5}}=0{,}28\ \text{m}$

El radio de curvatura es de $0{,}28\ \text{m}$. Un campo tan débil como el terrestre basta para curvar apreciablemente la trayectoria de una partícula tan ligera.

$\textbf{c) Si el campo magnético terrestre cesase de repente, ¿qué trayectoria seguiría el núcleo de helio, si se sigue despreciando la atracción gravitatoria? [0,75 puntos]}$

Al desaparecer el campo desaparece la fuerza de Lorentz, y con ella la única fuerza que actuaba sobre el núcleo. Por el principio de inercia, el movimiento pasa a ser rectilíneo y uniforme.

La recta que seguiría es la tangente a la circunferencia en el punto en que se encontrase el núcleo en el instante en que cesa el campo, y la recorrería con la misma velocidad de $540\ \text{m/s}$ que tenía, porque la fuerza magnética nunca había modificado su módulo.