Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2024

El astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler enunció sus tres famosas leyes en 1609 (las dos primeras) y 1619 (la tercera).

a) Enuncie y explique las tres leyes de Kepler. Indique qué magnitudes están involucradas y cuáles son sus unidades. [1 punto]

b) Utilice la tercera ley de Kepler para calcular la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tarda 27,32 días en dar una vuelta completa a la Tierra y que su radio orbital promedio es de 384.402 km. [1,5 puntos]

Dato: constante de gravitación universal, $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$.

$\textbf{a) Enuncie y explique las tres leyes de Kepler. Indique qué magnitudes están involucradas y cuáles son sus unidades. [1 punto]}$










Primera ley. Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, y el Sol ocupa uno de los focos de la elipse. Es la ley que sustituyó a las órbitas circulares: la circunferencia es solo el caso particular de excentricidad nula.

Segunda ley. El radio vector que une el Sol con el planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. Por eso el planeta se mueve más deprisa cuanto más cerca está del Sol.





Tercera ley. Para cualquier planeta, el cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita, y la constante de proporcionalidad solo depende de la masa del astro central:

$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M}$

Las magnitudes que intervienen en esta tercera ley son cuatro:

$T$, el periodo orbital, que se mide en segundos.

$a$, el semieje mayor de la órbita —el radio si es circular—, que se mide en metros.

$M$, la masa del astro que crea el campo, en kilogramos.

$G$, la constante de gravitación universal, cuyo valor es $6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

La segunda ley es una consecuencia de que el momento angular se conserva, porque la fuerza gravitatoria es central; la tercera se deduce de la ley de gravitación aplicada a una órbita circular.

$\textbf{b) Utilice la tercera ley de Kepler para calcular la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tarda 27,32 días en dar una vuelta completa a la Tierra y que su radio orbital promedio es de 384.402 km. [1,5 puntos]}$

Se despeja la masa del astro central de la tercera ley de Kepler:

$\dfrac{T^2}{r^3}=\dfrac{4\pi^2}{G\,M_T}\Rightarrow M_T=\dfrac{4\pi^2r^3}{G\,T^2}$

Antes de sustituir se pasan los dos datos a unidades del Sistema Internacional:

$r=384\,402\ \text{km}=3{,}84402\cdot10^{8}\ \text{m}$

$T=27{,}32\ \text{días}\cdot\dfrac{86\,400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=2{,}360\cdot10^{6}\ \text{s}$

$M_T=\dfrac{4\pi^2\left(3{,}84402\cdot10^{8}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\left(2{,}360\cdot10^{6}\right)^2}=6{,}03\cdot10^{24}\ \text{kg}$

La masa de la Tierra que se obtiene es de $6{,}03\cdot10^{24}\ \text{kg}$, muy próxima al valor aceptado de $5{,}97\cdot10^{24}\ \text{kg}$. La diferencia se debe a que la órbita de la Luna no es exactamente circular y a que el radio que se da es un promedio.